EEG中常用的功能連線指標彙總

功能連線（Functional connectivity, FC）可以說是EEG研究中的一個非常重要的方法。對於正常的大腦高階認知功能來說，往往並不僅僅是單獨的某個腦區在起作用，而是更加依賴於不同腦區之間的相互協同工作，因此研究不同腦區的功能連線對我們理解大腦的大腦高階認知功能機制來說非常重要。那麼究竟什麼是功能連線，如何定量測量不同腦區之間的功能連線呢？所謂的功能連線其實就是用某種方法來測量兩種訊號之間的依賴或相關程度。在EEG領域中，研究者提出了非常豐富的演算法來測定兩種訊號之間的相關程度，即所謂的功能連線指標。不同的功能連線指標具有各自的特點，因此研究者需要根據各自資料或者欲解決的問題來選擇合適的功能連線指標。筆者在這裡會陸續分幾篇文章對EEG中常用的功能連線指標的計算方法、優缺點進行系統梳理，希望對大家有幫助。

1.皮爾森相關係數（Pearson correlation coefficient）
皮爾森相關係數r應該是最簡單的功能連線指標，對於訊號x、y，兩者的皮爾森相關係數r計算公式如下：

r的取值範圍[-1 1],因此皮爾森相關係數可以測量出兩個訊號是正相關還是負相關，並且絕對值越大，相關性越強。但是，皮爾森相關係數只能測量兩個訊號的線性相關性。

2.波譜相干（Spectral coherence）
相干，有時也被稱為magnitude-squared coherence，其測量的是兩個訊號在頻域內的相關程度，計算公式如下：

其中Pxy表示訊號x、y的互譜密度（cross-spectral density），Pxx和Pyy分別表示x、y的自譜密度，即功率譜密度。Cohxy的取值範圍[0 1]，值越大說明兩個訊號在頻率f處的相關程度越大。但是，與皮爾森相關係數類似，相干也只能測量兩個訊號的線性相關性。

3.互資訊（Mutual information, MI）
互資訊MI是一種基於資訊理論的功能連線方法，它測定的是一種訊號中包含的關於另一個訊號量的資訊量，MI的計算方法如下：

其中Pxy表示訊號x、y的聯合概率分佈，Px、Py分別表示訊號x、y的概率分佈。上述公式計算出來的MI的取值範圍為大於等於0的實數，因此，有時我們需要對MI進行歸一化，使得其取值範圍在[0 1]之間，歸一化的MI計算公式如下：

其中H（X）和H（Y）分別表示訊號x、y的熵。
與皮爾森相關係數和相干分析不同，MI最大的優點是可以同時檢測兩個訊號的線性和非線性相關性，但是MI計算準確度容易受到訊號中噪聲以及訊號長度的影響。

4.相鎖值（Phase Locking Value, PLV）
相鎖值PLV是基於相位的功能連線方法，其實際測量的是兩個通道訊號的相位差，計算方法如下：

其中n表示時間點，φxt、φyt分別表示訊號x、y在時間點t處的相角。
PLV的取值範圍為[0 1]，值越大表示兩個訊號之間的相位同步程度越強。但是PLV對體積傳導效應（volume conduction effect）比較敏感。

5.相滯指數（Phase lag index，PLI）
與PLV相似，PLI也是基於相位的功能連線方法，可以用來測量兩個通道訊號的相同步程度，其計算方法如下：
其中，N表示時間點，φrel表示兩個通道訊號在時間tn處的相位差，sign是一個符號函式，當自變數為正值時其輸出為1，當自變數為負值時其結果為-1，對於0其結果也是0.
PLI的取值範圍為[0 1]，值越大表示兩個訊號之間的相位同步程度越強。PLI最主要的優點是對體積傳導效應（volume conduction effect）不敏感，但是其對噪聲似乎比較敏感。

6.部分有向相干（Partial directed coherence, PDC）
PDC是一種基於格蘭傑因果關係的多變數有效連線測量方法，與前面介紹的其他功能連線方法不同，PDC是測量通道訊號之間的因果影響，因此是有方向性的。對於一個N通道的EEG訊號X(n)=[x1(n),x2(n), x3(n), …, xN(n)]T，其可以用一個多變數的自迴歸模型MVAR來描述：

其中p是MVAR的order，Ar表示係數矩陣，W(n)表示高斯白噪聲。
p可以通過Akaike information criterion (AIC)來求解，而通過Yule-Walker方程，可以把Ar求解出來。當求得Ar之後，那麼就可以得到A(f):

其中I表示identity matrix。
那麼，頻率f處從通道j到通道i的有向資訊流即PDC值可以用以下公式來求解：

其中Aij(f)表示A(f)矩陣的元素，*表示矩陣轉置和複共軛。
PDC值的範圍[0 1]，值越大表示從通道j到i的資訊流動越強

7.有向傳遞函式（Direct Transfer Function, DTF）
與PDC類似，DTF也是一種基於格蘭傑因果關係的多變數有效連線測量方法，DTF的計算過程也與PDC類似，唯一區別在於DTF的計算用到了上述A(f)的逆矩陣，我們這裡記為H(f)，那麼DTF定義為：

同樣，DTF取值範圍在[0 1]。與PDC相比，DTF主要問題可能是會檢測到通道之間的間接因果連線，因此會產生虛假連線，而PDC只檢測通道之間的直接連線。

8.其他功能連線指標
除了在《系列1》和本文上述介紹的這些功能連線指標，還有很多其他的功能連線的指標，如同步似然指數（Synchronization Likelihood, SL）、轉移熵（Transfer Entropy, TE）、部分轉移熵（Partial Transfer Entropy, PTE）、相位斜率指數(Phase Slope Index, PSI)、加權PLI（Weighted Phase-Lag Index, WPLI）、部分MI(Partial Mutual Information, PMI)等。而有些功能連線指標的計算原理筆者也並不是十分了解，在這裡就不展開介紹，以免誤人子弟。如果想對各種各樣的功能連線指標有一個系統的瞭解，筆者推薦HERMES工具包。HERMES是由西班牙馬德里技術大學（Technical University of Madrid）的Centre for Biomedical Technology團隊研發的基於Matlab的開源EEG工具包，其主要的功能和特點是計算基於各種方法的功能連線，HERMES官方網址：http://hermes.ctb.upm.es/