轉動慣量一覽

物體在運動時，其整體平動動能並不等於各個部分的平動動能的和。這主要是因為複雜體可以繞某軸轉動，多出來的部分就是轉動動能。為了衡量物體繞某軸轉動的慣性，正如在平動過程中用平動動能除以0.5倍的速度平方得到質量那樣，我們用轉動動能除以0.5倍的角速度平方得到轉動慣量。雖然如同質量和速度無關一樣，轉動慣量和角速度無關。但值得注意的是，轉動慣量和轉動軸有關，同樣的轉動物體，繞的軸不一樣，轉動慣量也是變化的。

物體作為一個整體繞某軸轉動時，在某一個給定的時刻，所有的點的角速度都是相同的，所以對於複雜體，轉動慣量是廣延量，是各部分轉動慣量的和。

接下來我們計算一個直徑為$D$，質量為$M$的圓柱體繞中間軸的轉動慣量：

假設圓柱體的高為$H$（事實上這個量沒有用），則圓柱體的密度為

$$\rho =\frac{4M}{\pi D^{2}H}$$

對於圓柱體內一個質點，其距離中間軸的距離為$r$。

當圓柱體繞軸運動並隨軸平動的時候，該質點的動能一部分分配給了隨軸平動（這與軸的平動速度有關），另一部分分配給了繞軸運動，這部分動能為$0.5\rho v^2$，其中$v$是繞軸速度：

$$v=\omega r$$

其中$\omega$是繞軸轉動角速度。

所以該質點對轉動慣量的貢獻為：

$$i=\frac{0.5\rho v^2}{0.5{\omega }^2}=\rho r^2$$

總轉動慣量為：

$$I=\int dVi={\int }_0^{H}dh{\int }_0^{D/2}rdr{\int }_0^{2\pi }d\varphi i(r)$$

$$=2\pi H{\int }_0^{D/2}rdr\rho r^2$$

= 2 π H ρ { { D / 2 } 4 4 } =2\pi H\rho\{\frac{\{D/2\}^4}{4}\} =2πHρ{4{D/2}4​}

$$=\pi H\rho D^4/32=M{D}^2/8$$

注意$D$是直徑。

對於空腔圓柱體，如果內經為$D_1$外徑為$D_2$，質量為$M$，則密度為

$$\rho =\frac{4M}{\pi (D_2^2-D_1^2)H}$$

繞中間軸的轉動慣量為

$$\rho =\pi H\rho (D_2^4-D_1^4)/32=M(D_2^2+D_1^2)/8$$

最後我們算一個輪子繞中間軸的轉動慣量：

該輪子中間是一個100kg，直徑110mm的圓柱。外環一個120kg，內外徑110mm:594mm的輪轂。最外面的主體是1500kg，內外徑594mm:600mm。

則總轉動慣量為：

I = 1 8 { 100 k g ∗ 11 0 2 m m 2 + 120 k g ∗ ( 59 4 2 + 11 0 2 ) m m 2 I=\frac{1}{8}\{100kg*110^2mm^2+120kg*(594^2+110^2)mm^2 I=81​{100kg∗1102mm2+120kg∗(5942+1102)mm2
$$+1500kg\ast (600^2+594^2)m{m}^2\}=?$$

我的計算器沒電了，得數大家自行解決吧呵呵?