倒立擺模型分析

Cui_Hongwei發表於2020-11-21
模型

參考及致謝

一階倒立擺的PID控制和LQR控制
由拉普拉斯變換到傳遞函式
函式f(t)二階導數的拉普拉斯變換是什麼？
[1]翟龍餘.一級倒立擺模擬模型的建立[J].大眾科技,2011(8):268-270.

模型建立

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對小車的水平受力分析

M x ¨ = F − b x ˙ − N M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N Mx¨=F−bx˙−N

  1. x ¨ \ddot{x} x¨代表對運動距離的二階微分，即小車在外力作用下的加速度。
  2. F F F是外部施加給系統的外力。
  3. x ˙ \dot{x} x˙代表小車當前的運動速度，小車所受到的摩擦力為摩擦係數與小車運動速度之積，即 f = b x ˙ f=b\dot{x} f=bx˙。
  4. N N N為倒單擺作用給小車水平方向的力。

對倒單擺的水平受力分析

擺杆做平面運動，其質心在外力作用下，在一段時間內的水平位移為 s = x − l × s i n ψ s= x-l×sin\psi s=x−l×sinψ (因為倒立擺的倒向與外力 F F F的方向相反，所以中間用負號)，其加速度可以表示成
s ¨ = d 2 s d t 2 = d 2 ( x + l × s i n ψ ) d t 2 = x ¨ − l ( d 2 s i n ψ d t 2 ) \ddot{s}=\frac {d^2s}{dt^2}=\frac{d^2( x+l×sin\psi)}{dt^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^2sin\psi}{dt^2}) s¨=dt2d2s​=dt2d2(x+l×sinψ)​=x¨−l(dt2d2sinψ​)
= x ¨ + l c o s ψ d ψ d t d t = x ¨ − l [ − s i n ψ ( d ψ d t ) 2 + c o s ψ d 2 ψ d t 2 ] =\ddot{x}+l\frac{cos\psi\frac{d\psi}{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi(\frac{d\psi}{dt})^2+cos\psi \frac{d^2\psi}{dt^2}] =x¨+ldtcosψdtdψ​​=x¨−l[−sinψ(dtdψ​)2+cosψdt2d2ψ​]
更換符號後即可得到：
s ¨ = x ¨ + l s i n ψ ( d ψ d t ) 2 − l c o s ψ d 2 ψ d t 2 \ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-lcos\psi \frac{d^2\psi}{dt^2} s¨=x¨+lsinψ(dtdψ​)2−lcosψdt2d2ψ​
根據牛頓第二定律，此時擺質心的受力與加速度的關係為：
N = m x ¨ − ( m l ψ ¨ ) c o s ψ + m l ψ 2 ˙ s i n ψ N=m\ddot{x}-(ml\ddot{\psi})cos\psi+ml\dot{\psi ^2}sin\psi N=mx¨−(mlψ¨​)cosψ+mlψ2˙​sinψ
聯立關於倒立擺與小車的受力分析，替換掉相互作用力 N N N，得到：
( M + m ) x ¨ + b x − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx−mlψ¨​cosψ+mlψ˙​2sinψ=F

對倒單擺的垂直受力分析

倒單擺的質心在一段時間內垂直方向上移動的距離可以表示成： h = l c o s ψ h=lcos\psi h=lcosψ
式中 ψ \psi ψ為單擺繞軸心轉動的角度。
擺的質心在垂直方向的加速度可以表示為（注意，此時加速度方向與重力方向一致）：
h ¨ = d 2 ( l c o s ψ ) d t 2 = l d ( − s i n ψ d ψ d t ) d t = − l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) \ddot{h}=\frac{d^2(lcos\psi)}{dt^2}=l\frac{d(-sin\psi\frac{d\psi}{dt})}{dt}=-lcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-lsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) h¨=dt2d2(lcosψ)​=ldtd(−sinψdtdψ​)​=−lcosψ(dtdψ​)2−lsinψ(dt2d2ψ​)
垂直方向有重力 m g mg mg和小車對擺的支援力 P P P，另外單擺會有一個與重力方向一致的加速度。
垂 直 向 上 的 分 量 = 垂 直 向 下 的 分 量 垂直向上的分量=垂直向下的分量 垂直向上的分量=垂直向下的分量
P = m g + m h ¨ P=mg+m\ddot{h} P=mg+mh¨
P = m g − m l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − m l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) P=mg-mlcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-mlsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) P=mg−mlcosψ(dtdψ​)2−mlsinψ(dt2d2ψ​)
替換符號之後可以得到：
P = m g − m l ( c o s ψ ) ψ ˙ 2 − m l ( s i n ψ ) ψ ¨ P=mg-ml(cos\psi)\dot{\psi}^2-ml(sin\psi)\ddot{\psi} P=mg−ml(cosψ)ψ˙​2−ml(sinψ)ψ¨​
假設擺受力不平衡，會有以鉸鏈為圓心的角加速度，將 P P P和 N N N分別在轉動方向上投影，根據倒單擺平衡時的力矩方程方程得到：
I ψ ¨ = P l s i n ψ + N l c o s ψ I\ddot{\psi}=Plsin\psi+Nlcos\psi Iψ¨​=Plsinψ+Nlcosψ
觀察上面的式子，你可能會發現裡面少了一個分量，這個分量就是重力在垂直於擺方向的分力 m g s i n ψ mgsin\psi mgsinψ，很多部落格和論文上也是直接這麼寫，沒有解釋原因。只有以質心為參考點時，重力不產生力矩，上式成立，但這顯然是背離事實的，個人理解，這裡在小角度時為了方便分析做了近似。
其中 I I I為擺的角動量。將 P P P和 N N N的表示式與力矩平衡方程聯立，消去中間變數 P P P、 N N N，得到：
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨​−mglsinψ=mlx¨cosψ

線性化

至此，我們通過受力分析得到了兩個非常重要的式子：
( M + m ) x ¨ + b x − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx−mlψ¨​cosψ+mlψ˙​2sinψ=F
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨​−mglsinψ=mlx¨cosψ
考慮到倒單擺在實際工作時，偏轉角 ψ \psi ψ通常比較小，於是有：
{ c o s ψ = 1 s i n ψ = ψ ψ ˙ = 0 \left\{ \begin{aligned} cos\psi & = & 1\\ sin \psi & = &\psi \\ \dot{\psi} & = & 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​cosψsinψψ˙​​===​1ψ0​
用 u u u來代表作用於受控物件的外力 F F F，結合上述近似結果，有：
{ ( M + m ) x ¨ + b x − m l ψ ¨ = u ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ \left\{ \begin{aligned} (M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi}&=& u \\ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi &=& ml\ddot{x} \end{aligned} \right. {(M+m)x¨+bx−mlψ¨​(I+ml2)ψ¨​−mglψ​==​umlx¨​

求系統傳遞函式

由上一節，我們最終得到了一個關於系統狀態的微分方程組。而拉普拉斯變換可以將微分方程轉化為代數方程進行運算，使求解大為簡化。

( M + m ) x ¨ + b x − m l ψ ¨ = u → ( M + m ) X ( s ) s 2 + b X ( s ) − m l Ψ ( s ) s 2 = U ( s ) (M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi}= u \rightarrow(M+m)X(s)s^2+bX(s)-ml\Psi(s)s^2=U(s) (M+m)x¨+bx−mlψ¨​=u→(M+m)X(s)s2+bX(s)−mlΨ(s)s2=U(s)
( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ → ( I + m l 2 ) Ψ ( s ) s 2 − m g l Ψ ( s ) = m l X ( s ) s 2 (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi = ml\ddot{x}\rightarrow(I+ml^2)\Psi(s)s^2-mgl\Psi(s)=mlX(s)s^2 (I+ml2)ψ¨​−mglψ=mlx¨→(I+ml2)Ψ(s)s2−mglΨ(s)=mlX(s)s2
現在我們系統的輸入變數是 U ( s ) U(s) U(s)，而我們關心的是小車當前的位置 X ( s ) X(s) X(s)以及倒單擺的角度 Ψ ( s ) \Psi(s) Ψ(s)
經過整理，可以得到下面的系統傳遞函式（筆者沒有逐步推導）。
擺角度的傳遞函式：
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小車位置的傳遞函式：
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上面兩式中q為公因數項：
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