參考及致謝

一階倒立擺的PID控制和LQR控制
由拉普拉斯變換到傳遞函式
函式f(t)二階導數的拉普拉斯變換是什麼？
[1]翟龍餘.一級倒立擺模擬模型的建立[J].大眾科技,2011(8):268-270.

模型建立

對小車的水平受力分析

$$M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N$$

1. $\ddot{x}$代表對運動距離的二階微分，即小車在外力作用下的加速度。
2. $F$是外部施加給系統的外力。
3. $\dot{x}$代表小車當前的運動速度，小車所受到的摩擦力為摩擦係數與小車運動速度之積，即$f=b\dot{x}$。
4. $N$為倒單擺作用給小車水平方向的力。

對倒單擺的水平受力分析

擺杆做平面運動，其質心在外力作用下，在一段時間內的水平位移為$s=x-l\times sin\psi$ (因為倒立擺的倒向與外力$F$的方向相反，所以中間用負號)，其加速度可以表示成
$$\ddot{s}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=\frac{d^2(x+l\times sin\psi )}{d{t}^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^{2}sin\psi }{d{t}^2})$$
$$=\ddot{x}+l\frac{cos\psi \frac{d\psi }{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2+cos\psi \frac{d^2\psi }{d{t}^2}]$$
更換符號後即可得到：
$$\ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2-lcos\psi \frac{d^2\psi }{d{t}^2}$$
根據牛頓第二定律，此時擺質心的受力與加速度的關係為：
$$N=m\ddot{x}-(ml\ddot{\psi })cos\psi +ml\dot{{\psi }^2}sin\psi$$
聯立關於倒立擺與小車的受力分析，替換掉相互作用力$N$，得到：
$$(M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi }cos\psi +ml{\dot{\psi }}^{2}sin\psi =F$$

對倒單擺的垂直受力分析

倒單擺的質心在一段時間內垂直方向上移動的距離可以表示成：$$h=lcos\psi$$
式中$\psi$為單擺繞軸心轉動的角度。
擺的質心在垂直方向的加速度可以表示為（注意，此時加速度方向與重力方向一致）：
$$\ddot{h}=\frac{d^2(lcos\psi )}{d{t}^2}=l\frac{d(-sin\psi \frac{d\psi }{dt})}{dt}=-lcos\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2-lsin\psi (\frac{d^2\psi }{d{t}^2})$$
垂直方向有重力$mg$和小車對擺的支援力$P$，另外單擺會有一個與重力方向一致的加速度。
$$垂直向上的分量=垂直向下的分量$$
$$P=mg+m\ddot{h}$$
$$P=mg-mlcos\psi (\frac{d\psi }{dt}{)}^2-mlsin\psi (\frac{d^2\psi }{d{t}^2})$$
替換符號之後可以得到：
$$P=mg-ml(cos\psi ){\dot{\psi }}^2-ml(sin\psi )\ddot{\psi }$$
假設擺受力不平衡，會有以鉸鏈為圓心的角加速度，將$P$和$N$分別在轉動方向上投影，根據倒單擺平衡時的力矩方程方程得到：
$$I\ddot{\psi }=Plsin\psi +Nlcos\psi$$
觀察上面的式子，你可能會發現裡面少了一個分量，這個分量就是重力在垂直於擺方向的分力$mgsin\psi$，很多部落格和論文上也是直接這麼寫，沒有解釋原因。只有以質心為參考點時，重力不產生力矩，上式成立，但這顯然是背離事實的，個人理解，這裡在小角度時為了方便分析做了近似。
其中$I$為擺的角動量。將$P$和$N$的表示式與力矩平衡方程聯立，消去中間變數$P$、$N$，得到：
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mglsin\psi =ml\ddot{x}cos\psi$$

線性化

至此，我們通過受力分析得到了兩個非常重要的式子：
$$(M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi }cos\psi +ml{\dot{\psi }}^{2}sin\psi =F$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mglsin\psi =ml\ddot{x}cos\psi$$
考慮到倒單擺在實際工作時，偏轉角$\psi$通常比較小，於是有：
$$\{\begin{array}{rlr}cos\psi & =& 1\\ sin\psi & =& \psi \\ \dot{\psi }& =& 0\end{array}$$
用$u$來代表作用於受控物件的外力$F$，結合上述近似結果，有：
$$\{\begin{array}{rlr}(M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi }& =& u\\ (I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mgl\psi & =& ml\ddot{x}\end{array}$$

求系統傳遞函式

由上一節，我們最終得到了一個關於系統狀態的微分方程組。而拉普拉斯變換可以將微分方程轉化為代數方程進行運算，使求解大為簡化。

$$(M+m)\ddot{x}+bx-ml\ddot{\psi }=u\to (M+m)X(s)s^2+bX(s)-ml\Psi (s)s^2=U(s)$$
$$(I+m{l}^2)\ddot{\psi }-mgl\psi =ml\ddot{x}\to (I+m{l}^2)\Psi (s)s^2-mgl\Psi (s)=mlX(s)s^2$$
現在我們系統的輸入變數是$U(s)$，而我們關心的是小車當前的位置$X(s)$以及倒單擺的角度$\Psi (s)$
經過整理，可以得到下面的系統傳遞函式（筆者沒有逐步推導）。
擺角度的傳遞函式：

小車位置的傳遞函式：

上面兩式中q為公因數項：