非未定式
直接代入。
未定式
\(\frac{0}{0}\) 型
這類先進行化簡
化簡的方向有：
- 提前求極限不為 \(0\) 的因子，以及因式分解約分
- 拆項與合併：利用 \(\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)\) 等，能拆出時先拆出幾部分，若拆出後發現極限都不存在，則應該重新合併
- 換元：\(x\rightarrow x_0\)，令 \(t=x-x_0\)，這樣一來 \(t\rightarrow 0\)，例如 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow e} \frac{\ln x-1}{x-e}\)
- 等價無窮小代換
上面的方向一定要靈活應用。
常用等價無窮小代換如下（\(x\rightarrow 0\) 時）：
\[\sin x\sim x\quad\tan x\sim x\quad\arcsin x\sim x\quad\arctan x\sim x\quad e^x-1\sim x\quad \ln(x+1)\sim x\\
a^x-1\sim x\ln a\quad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\\
1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\quad\sec x-1\sim \frac{x^2}{2}\quad x-\ln(x+1)\sim\frac{x^2}{2}\\
x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\quad x-\arcsin x\sim-\frac{x^3}{6}\quad x-\tan x\sim-\frac{x^3}{3}\quad x-\arcsin x\sim\frac{x^3}{3}
\]
走投無路時，再用洛必達或者泰勒展式。
\(\frac{∞}{∞}\) 型
抓住最高次冪或者洛
\(0\cdot ∞\) 型
等價代換，或者利用 \(0=\frac{1}{∞}\) 來下方。
\(∞ -∞\) 型
通分，或代換 \(x=\frac{1}{t}\) 來構造分式進行通分來變成 \(\frac{0}{0}\) 型；或者提取公因式（例如 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow∞}[x-x^2\ln(1+\frac{1}{x})]\)）來變成 \(0\cdot ∞\) 型
\(1^{∞}\) 型
重要極限 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e\) 的應用。如 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} (1+3x)^{\frac{2}{\sin x}}\)，既可以 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} (1+3x)^{\frac{1}{3x}\cdot \frac{6x}{\sin x}}=e^6\)，也可以直接的寫作 \(e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}3x\cdot \frac{2}{\sin x}}\) 得到結果。