遠山啟：用數學照亮人性與自由

前 言

遠山啟（1909—1979），日本數學家，著名教育家。國內對他的印象，多來自於《數學與生活》一書。筆者初讀其書時，除了佩服他對數學概念的精妙講解外，亦驚歎於他在文學、哲學、藝術方面的淵博學識。 查閱相關資料後，更折服於他從數學、教育等層面對“人”的深刻洞察。此外，筆者還發現，遠山啟與戰後日本思想、學術和藝術界的學者聯絡密切，並對他們產生了深遠影響。
例如，遠山的學生吉本隆明（著名批評家、詩人，人氣作家吉本芭娜娜的父親）、奧野健男（文學評論家）、森毅（數學家）；遠山啟東京工業大學的同事鶴見俊輔（日本思想家）；此外，大岡信（詩人）、安野光雅（畫家，繪本作家）等人都與有聯絡（或受其影響）。
遠山啟在日本的影響力已經超出了數學領域，成為日本戰後的教育和思想界的一個交匯點。


遠山啟

舊制中學與高等學校時期——“什麼都想讀”的自由博識者

遠山啟，生於1909年，日本九州熊本縣人。據其學生森毅所言，遠山家的祖先似乎是西海道肥後國的著名鑄刀師，西南戰爭後，遠山一族家道中落。遠山啟出生不久後，其父因病去世。
9歲之前，遠山啟與母親生活在熊本的祖父母家。祖母去世後，遠山隨母親移居東京，並於1922年進入東京東京府立第一中學（現東京都立日比谷高等學校）就讀。

中學三年級（舊制）時，遠山被幾何的魅力所俘獲，成為醉心於證明與作圖的“幾何狂人”。他投入大量精力研究幾何，對於其他科目則只付出必要的精力，保證成績及格。在東京居住期間，遠山啟與母親、外祖母借住於小石川妙傳寺內的民家，生活並不寬裕。
另外遠山啟也不太適應東京，為了早日擺脫這種生活，他發奮苦讀，提前一年參考了高等學校的入學考試（舊制高等學校相當於大學預科）。以中學三年級的身份考入了福岡高等學校（現九州大學教養學部）。
日本舊制高等學校的學風自由，對學生的要求和限制不多。當時的遠山啟只會去上必要的課程，其餘時間則浸在圖書館。遠山啟讀書全憑興趣，不會為了“博中求專”或“循序漸進”而在範圍或順序上設立禁區。
數學、文學、哲學、語言學、天文學、地質學，興之所至，無所不讀。這種駁雜的閱讀經歷，讓遠山啟更習慣於自由式的自學模式，也更側重摸索知識間的聯絡與意義。對於學校的那些固定式的規矩，他則毫不上心。
高等學校三年級時，遠山啟在圖書館讀到了弗洛裡安·卡喬裡（Florian Cajori，1859—1930）的《方程式論》（An Introduction to the Modern Theory of Equations），他被群論所迷住，也折服於現代數學的獨特魅力。
這本《方程式論》，讓在繁山覆水之間自在遨遊的遠山啟，找到了自己想要探索的方向。他下定決心，大學要讀數學專業。

讓遠山啟走上數學之路的《方程式論》及其中譯本

大學時期——錯位的數學因緣

1929年，懷揣數學之夢的遠山啟，考入了東京帝國大學（現東京大學）的理學部數學系。遠山啟期待日本一流的數學家能帶他領略現代數學中的至美絕景，但大學課程的現實情況卻讓他心灰意冷。
給遠山啟的熱情潑了冷水的人，是東京帝國大學的阪井英太郎教授。阪井教授開設的微積分課，是數學系、物理系、天文系的必修課，他的課程重視計算技巧，而不是思考與理解，並且講課的形式非常固定。
傳聞他每次講課都用英文把要講的內容寫到黑板上，然後讓學生抄寫和計算。此外，板井課程中題目在計算上也非常煩瑣，是眾多理學部學生的噩夢。
板井教授的這種千篇一律的形式化計算課，讓習慣自由學習的遠山啟難以忍受，他開始頻繁翹課。並且，遠山啟在考試中，還故意使用了與板井課程中不同的簡潔解法來解題。
他的這一行為，使他與板井教授之間的裂痕擴大到了難以癒合的程度。不出所料，遠山啟沒有拿到這門必修課的學分。這讓遠山啟產生了放棄大學的念頭。

我滿心期待大學會教授更加深邃的數學，引領我去更遠、更深的地方，但我沒想到數學系的課程就是讓學生練習計算曲線的運動軌跡。這讓我心灰意冷。我開始翹課，去閱讀自己喜歡的書。不過，這位“曲線運動軌跡”教授，對於不去上課的學生絕對不會給學分。想到這裡，我便想放棄大學，用現在流行的詞語說，就是 drop out。

順便一提，據說當時從東大退學的學生，不少人都曾在板井教授這裡丟過學分。板井教授為微積分課程的創作的著作『微分積分演習』共有三卷，多達1500頁。這套書也被戲稱為是血祭了眾多東大生而煉成的“魔典”。
在東大期間，遠山啟也遇到過令他欽佩的教授，那就是日本數學現代化的開山祖師高木貞治。據遠山啟本人回憶，高木教授課風趣幽默，甚至經常不拘於講義，這讓遠山啟感受到 與板井課程不同的自由氣息，也在數學之中感受到了“人性”的存在。

我在東大的時候聽高木(貞治)先生的講義，覺得非常有趣。高木老師的講義大體上是反英雄主義的，他總是能把那些高不可攀的數學家還原為真實的人。例如講集合論時，他說策梅洛選擇公理中有兩種證明集合論的方法，這兩種證明方法的結局是一樣的。那麼，為什麼策梅洛教授會搞出兩種同樣的東西呢？因為這樣可以多寫很多論文……(笑)。這給我留下了很深的印象……

後來接替板井微積分課程的，正是高木貞治的著名講義“解析概論”。小平邦彥、伊藤清等著名數學家，都是“解析概論”課程的修習者。高木貞治依據課程所著的『解析概論』一書，也成為暢銷不衰的數學名著。
如果，當年遠山啟在東大再堅持一段時間（即便不能畢業），或許他就可以遇到高木貞治教授的課程了。不過以他的性格看，退學才更符合他的本性吧。

改變遠山啟求學軌跡的微積分課“魔典”『微分積分演習』（無中譯本）

哺育了小平邦彥、伊藤清等數學家的數學分析“聖典”『解析概論』
（增補版定本，即將由圖靈出版）
從東大退學後，遠山啟再次沉浸到文學與哲學的世界，這一時期，他靠做翻譯和家庭教師來勉強餬口。當時日本的翻譯出版並不發達，許多作品需要學習對應的外語才能讀到，遠山啟為此自學了多門外語。
據森毅回憶，遠山啟可以用英語吟誦布萊克的詩，用德語評述《浮士德》的內容，用法語研究巴爾扎克，這是常人不能與之抗衡的。他晚年還學習了俄語，除了俄國文學哲學作品外，也會閱讀俄語的數學專著。
不過，遠山啟的數學之路並沒有結束。遠山啟在幾位朋友組織的“量子理論與相對論”的研究會上，讀到了赫爾曼·外爾的《群論與量子理論》（Gruppentheorie und Quantenmechanik）。這本書讓遠山啟與數學久別重逢，再次激發了他研究數學的熱情。
不過，在當時的日本，只有熱情沒有學歷的話，是沒法做數學研究的。於是，他再三權衡之後，報考了以學風自由而著稱的東北大帝國大學，並於1935年考入了東北帝國大學的理學部數學系，專業為代數學。
東北帝國大學的學風確實如傳聞中那樣自由，用遠山的話說，就是自由到“躺著都可以畢業”。在那段日子裡，他又回到了高等學校時期的自在日子，一邊研究數學，一邊在圖書館博覽群書。
1938年，遠山啟從東北帝國大學畢業，對於這六年的大學時期，他在自傳文集中有如下回憶。

在那六年裡，我失去了很多東西。從外表上看確實是這樣。
然而，從內部來看，我似乎得到了一些東西。第一，我獲得了一種從容，即使從學歷這條軌道上脫軌，也不必那麼慌張，總會有辦法的。第二，離開學校的這段時間，讓我能從學校之外冷靜地思考學校是什麼。這對我之後在大學的任教，起到了很大的作用。
事到如今回頭一看，我覺得我從小學到大學都是“不適應學校的兒童”。

讓遠山啟重回數學之路的《群論與量子理論》 （未找到中譯本）
從高等學校開始，遠山啟就喜好自由探索，過於死板的東西，似乎都與他格格不入。據森毅回憶，在“喜歡狗還是喜歡貓”這一問題上，遠山啟是不折不扣的貓派，比起忠犬，他更喜歡自由的貓。
另外，遠山啟晚年投身教育改革運動，由於工作需要經常出差，但他坐車從來都是隻買“自由席”，他不喜歡座位被固定。在遠山啟的一生中，這種追求自由的性格似乎貫穿始終，從未改變。

東京工業大學任教時期——數學深處的“精神氣息”

1938年，畢業後的遠山啟曾受聘於海軍擔任數學教師。然而，軍隊這種固定型的場所顯然不適合他。遠山啟辭去軍隊工作後，開始在理化學研究所做兼職工作。
後來，經好友早川康弌（東京大學教授，數學家加藤文元的外祖父）的介紹，他進入東京工業大學擔任助理教授。直到六十歲退休，遠山啟一直在東京工業大學工作，這段時間也是他研究數學的鼎盛時期。
1938年，法國數學家安德烈·韋伊發表了題為《阿貝爾函式的一般化》的論文，這篇論文對遠山啟產生了莫大的吸引力。進入東京工業大學後，他沉溺於這方面的研究，並發表了多篇擴充深化韋伊理論的論文。
他的論文都是的著眼點都是“非阿貝爾的函式論”。1949年，遠山啟完成了他的博士論文《代數函式的非阿貝爾理論》，他也成為了東京工業大學的教授。據說當時韋伊對自己理論的深化不太上心（因為涉及太多技術性計算，非常麻煩），但他對遠山啟的各篇論文非常關注。
1955年韋伊來日本參加代數數論國際會議時，還特意找到遠山啟，問他：“現在你在研究什麼？”遠山啟回答：“我在研究日本的教育問題”。韋伊說：“教育確實是很重要。”之前埋頭數學研究的遠山啟，並且已經獲得一些國際關注度的他，為何會1951年前後轉向了數學教育？對於在數學研究與數學教育之間的抉擇，遠山啟曾有一段非常迷茫的時期。
當時的遠山啟非常希望能將自己的代數理論繼續深化，並且他也已經找到了很多繼續前進的線索。但從實際情況來看，遠山啟最終還是選擇了投身數學教育。這一選擇，或許與他在東京工業大學開設“量子理論的數學基礎”的經歷，以及對戰後狀況的思考有關。
1945年戰後的日本滿目瘡痍，社會陷入停滯與混亂。大學的教學活動也被迫中斷，變得死氣沉沉。在這一時期，遠山啟在自己的研究室開設了“量子力學的數學基礎”的課程。憑藉他在文學、哲學、藝術等方面的深厚積澱，以及對數學的敏銳洞察與思考，他的課程成為了廢墟中的思想火種，吸引了眾多渴求知識和思想的年輕人。
這些年輕人中，就包括著名日本戰後啟蒙學者吉本隆明和奧野健男。儘管遠山啟的課程是私自開設的地下黑課，也沒有學分，但是每次都有約200名學生主動前來聽課，人氣爆棚。在戰後艱苦的歲月裡，遠山啟的課為何能吸引如此多的年輕人？對於這一問題，後來始終將遠山啟尊為“恩師”的吉本隆明回憶如下。
慣於嘲笑那些匠氣十足的教授們的慵懶學生，究竟是被什麼吸引了呢？我認為那是遠山老師帶來的知識中的興奮感。量子力學角度的化學鍵理論非常晦澀，但他帶領學生層層深入，如同剝洋蔥一般探究其中的奧祕，將其變為了易懂的知識。
讓學生體會到這種來源於知識本身的樂趣與刺激，正是遠山老師課程的魅力所在。不過，除了知識之外，還有一個重要原因。那就是我從遠山老師的言語之中感受到的“精神氣息”，這是一種更加深遠，令人沉醉的魅力。
在空洞一樣沉寂下來的大學裡，我那在那間夕陽映照的教室裡，第一次發出了感嘆——這就是“學問”吧。我當時在早已荒廢學業，但是遠山老師讓我在學校中感受到了“學問”，讓我有這種感觸的，只有遠山先生一個人。
很多學生都從遠山啟的課程中受益，在混亂的日子裡重新找到了方向，燃起了對學問的熱情。為了感謝遠山啟，很多學生想方設法搞到了一些牛肉作為聽課的禮物送給遠山啟。
在那個物資匱乏，大家普遍吃不飽飯的時代（這個時期，後來的諾貝爾物理學獎得主朝永振一郎，甚至在考慮放棄物理轉而研究光合作用，以解決日本的吃飯問題），這是非常貴重的禮物。由此足可見學生們對遠山啟的崇敬之情。
1952年，42歲的遠山啟完成了他最初的著作『無限と連続』（中譯本：《數學與生活3：無窮與連續》），這本書不僅以鑑賞角度介紹現代數學的體系，還對“邏輯與自由”“抽象與直觀”等數學哲學問題，做了一次人文性的思想探索。
這本書讓遠山啟成為了“全學聯”（全日本學生自治會總聯合）中東大學生的偶像。《無窮與連續》的讀書討論會，也成為了日本著名數學團體——新數學人集團（SSS，成員中包括谷山豐、銀林浩、杉浦光夫、齋藤正彥等後來的日本數學家）的起點。越來越多的學生被這本書感染，來到東京工業大學遠山啟的研究室向他諮詢人生。
遠山啟的研究室，成為了當時日本的“水泊梁山”，據說有不少“英雄好漢”的奇聞異事。例如，遠山啟曾藏匿在“血色勞動節”運動中遭通緝的丸山滋彌，幫助在“掃紅運動”（red purge）中從東大退學的共產黨員銀林浩進入東工大研究生院，等等。

成為日本戰後年輕人精神道標的 《數學與生活3：無窮與連續》及其中譯本
在東工大開課的這段經歷讓遠山啟意識到，教育是影響日本未來的一種社會改造運動。如果要讓日本避免再次陷入戰爭這種狂熱的思維陷阱，那麼讓年輕人具備科學精神與批判精神是非常必要的。不過，讓他開始關注學校教育的契機，是一件更加私人的事情——他發現自己女兒因無法理解算術，並且產生了厭學情緒。

晚年時期——尋找教育背後的“幽靈”

為了找到女兒厭學的原因，遠山啟親自去女兒的學校聽課，結果發現了學校教育中的深刻問題。這也揭開了他批判日本戰後教育的序幕。
1951年，日本文部省頒佈了新的《學習指導要領》（相當於中國的教學大綱），文部省參考美國的算術指導用書，在日本的算術教科書中引入了“生活單元學習法”。
生活單元學習法是源於美國的一種算術教學方式，這種方法將算術練習放到生活場景中，試圖讓孩子在實際生活場景中理解到算術的意義。然而這種方法僅重視應用的意義，卻缺忽視了孩子對算術原理的理解。
這種方法在表面上擁有熱鬧非凡、豐富多彩的應用性場景，卻因為偏離了知識本身而使越來越多到了孩子無法理解和掌握算術。對於這種方法，遠山啟有如下評論。

第二次世界大戰後，駐日美軍強制日本的小學採用生活單元學習法。雖然美軍為了避免留下“強制”的證據而沒有頒佈書面文書，只發布了口頭命令，但生活單元學習法確實來源於美國。
這種方法指的是，模擬學生會遇到的各種生活場景，如“購物”和“取錢”等，讓學生通過練習加減乘除的運算來解決這些生活問題。這種方法導致學生無法在一段時間內集中學習某一種運算方法，結果造成了當時日本學生數學水平的迅速下降。

除了生活單元學習法外，他還細緻研究了的日本數學教育中的要害問題，例如“教學方法的保守性”“教科書中‘量的缺失’”“教學順序”等。這些問題大多集中在算術教學階段，遠山啟之所以重視算術教育，是因為他認為算術是理解數、理解數學的入口，算術的教法，也會直接影響孩子對位值原理以及數學證明的理解。
在當時的日本，大多數孩子在學習算術時往往是很喜歡數學的，但到小學高年級卻出現了很多學不明白的學生。遠山啟認為這一問題的根源，在於日本在算術教學研究上的滯後以及教科書中的“量的缺失”。
日本的教師和家長普遍認為，算術這種東西很簡單，完全沒有必要去研究算術的教法。遠山啟則認為，雖然算術題的結果是一成不變的，但也應當結合“數學概念的發展順序”“兒童心理的發展情況”“數學的整體體系”來尋找具有“發展性”的教學方法。
他主張：“教育所必須做的事情之一，就是教會學生如何從眾多方法中選出最便於思考的那種方法。這裡說的便於思考，並非僅指對於孩子來說方便使用，更重要的是，孩子在將來也能獨立使用同樣的思考方法。也就是說，作為教育者的成年人，應當去尋找具有發展性的思考方法來教授，這是教育的一項重要任務。”
對於教科書中的“量的缺失”這一問題，遠山啟在研究中提出，量是人類思維中天然存在的東西，是對環境資訊（大小、冷熱、長短、輕重、快慢等）的一種識別，而數則是對量的抽象。
所以在教授孩子算術時，應當先量的角度著手，如果直接從數的角度教授算術，算術很可能變成單純的死記硬背，即便孩子能做出算術題的答案，也不知道這背後的原理。
對於量與數的關係，遠山啟做過如下比喻：

數的世界類似於黑白電視機，量的世界則像彩色電視機。量的世界豐富多彩，有體積、長度等，但數的世界卻要單調許多。彩色電視機能顯示出豐富的色彩，黑白電視機則只能用黑白灰來呈現所有色彩。讓學生先去理解彩色電視機般的量的世界，之後再轉到黑白電視機般數的世界，這樣會更好一些。

為了能從實踐上推動數學教育改革，1951年，遠山啟與小倉金之助等人成立了日本數學教育議會，由遠山啟擔任會長，開始大規模批判當時的生活單元學習法。
1953年，日本數學教育議會成為全國性組織，公開批判文部省的教育政策與教科書中的不合理之處，其目標是打通小學到大學的數學體系，建立符合兒童發展認知與數學發展規律的科學教學體系。
經過數年研究，遠山啟提出了“量的體系”（1957年）與“水管道方法”（1958年）等教學理論，得到了各地一線數學教師的支援。1959年，遠山啟在總結數學教育議會的實踐活動的基礎上，創作出了在日本廣為人知的數學名作『數學入門』（中譯本：《數學與生活》）。
這本書推動了數學教學的科學化，也獲得了每日文化出版獎。1962年，遠山啟與矢野健太郎創辦了『數學セミナー』（數學seminar）雜誌，希望能在多樣性討論中為教育改革提供新的空間和推動力。
這本雜誌成為了日本數學家和數學教師自由表達意見和思想的重要陣地，高木貞治、小平邦彥等數學家關於數學和教育的文章，不少都發表於《數學seminar》。

獲每日文化出版獎的數學入門名著 《數學與生活》及其中譯本
1972年，遠山啟總結了1957年到1971年之間的數學教學研究，寫出了『數學の學び方·教え方』（中譯本：《數學與生活2：要領與方法》）。對於這本書，日本教師中有人如下評價：“教師和學生只要熟讀這本書的前半部分，就會大幅降低在學習算術或中學數學時陷入混亂的概率。”
此後遠山啟創辦雜誌《人》，探索教育對於人和社會的作用。1979年9月11日，遠山啟癌症去世。1995年，在遠山啟去世的6年後，日本文部省終於承認了遠山啟的教育理念，決定在檢定教科書中採用《數學與生活2：要領與方法》中的教學理論與方法。直到今天，日本的審定數學教科書中，仍然沿用了遠山啟的理論。

遠山啟數學教育理念的總結性作品《數學與生活2：要領與方法》及其中譯本
對於自己的一生，遠山啟在自傳文集中如下評述。

在戰爭結束之前，我是一位研究“無人式”數學的隱者。戰爭結束後，或者說正是因為戰爭這一契機，我的視野逐漸轉向了“人”，特別是對孩子的教育上。在研究教育的過程中，我似乎看到了一條人類心智發展的河流，研究教育，就是沿著這條河逆流而上。
這趟旅途，這就像是從河口出發，向“人性”的水源地的一次探險。對於那片神祕的水源地，無論如何我都想要去看看。現在想來，我可能就是被這種慾望驅使著走到了現在。

遠山啟在數學與教育上對“人”的探索，為日本戰後的數學教育開啟了科學化與現代化的視窗。同時，他通過著作留下的理念與思想，源源不斷地賦予當前教育工作者應對新問題的根源性力量，也讓更多的學習者獲得了精神上的自由。

參考文獻

森毅.『森毅ベスト・エッセイ』（築摩書房，2019）

森毅.『數學文化の教育と歴史』（國土社，1971）

遠山啟.『水源をめざして』（太郎次郎社，2017）

遠山啟.『文化としての數學』（光文社，2006）

森岡次郎.『遠山啟の教育思想』.人間科學：大阪府立大學紀要. 14, p.31-57


數學領域的百年經典
遠山啟 | 著
呂硯山，李誦雪，馬傑，莫德舉 | 譯
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《數學與生活(修訂版)》以生動有趣的文字，系統地介紹了從數的產生到微分方程的全部數學知識，包括初等數學和高等數學兩方面內容之精華。這些知識是人們今後從事各種活動所必須的。書中為廣大讀者著想，避開了專用術語，力求結合日常邏輯來介紹數學。讀來引人入勝，枯燥之感。從中不但可得益於數學，而且還可學到不少物理、化學、天文、地理等方面的知識。
《數學與生活2 》為日本數學教育議會創立者遠山啟的數學教育科普作品。書中通俗解讀了數學教育中的重點、難點知識，用直觀的方式梳理了“量與數”“集合與邏輯”“空間與圖形”“變數與函式”的知識體系，並結合作者多年的教學與研究經驗，向讀者傳授了獨創的教學方法與學習技巧，引導學習者掌握具有發展性的思考方法，真正從原理上理解數學知識。
《數學與生活3》不懂音符、樂理的人也能欣賞音樂，甚至可以成為音樂鑑賞家。不懂數學公式的人，是否也能理解現代數學的體系與思考方法，領略其中令人驚歎的超越性美景呢？