相關性分析

一、皮爾遜相關係數

（person）

計算公式：

樣本協方差：$Cov(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}$

樣本標準差$S_x=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}}$

樣本Person相關係數：$r_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{S_x{S}_y}$

資料間的相關性檢驗

這裡的相關係數指皮爾遜相關係數。

注意：要先進行描述性統計，即在matlab或spass中畫出散點圖，線上性的前提下進行檢驗其相關係數。

（SPSS中：圖形 - 舊對話方塊 - 散點圖/點圖 - 矩陣散點圖）

相關係數越接近於1，就越正相關；越接近於-1，則越負相關。

用[R,P]=corrcoef(Test)

其中，

1、Test是一個矩陣，每一列為一組資料，每一行是不同的指標，

2、R是皮爾遜相關係數，（即使相關係數接近於1或-1，也不一定就相關，受異常值的影響，這裡在成線性關係的前提下檢驗才有意義）

3、P是一種概率值，若P<0.01，表示在99%的置信水平下，拒絕原假設；P<0.05或0.1同理，一般與0.05比較。

（R和P都是兩兩進行比較後得到的方陣。）

這裡的原假設是$H_0$：這兩組資料的相關係數等於0。

那麼拒絕原假設，則表示相關係數顯著於0，並不是等於0的，有一定的相關性。

正態分佈檢驗

前面檢驗相關係數時，前提除了要成線性關係，還要服從正態分佈。

skewness(x) %偏度S，x是一個向量
kurtosis(x) %峰度K

偏度就是判斷資料的分佈的影像是否兩邊均勻分佈

峰度就是判斷分佈影像的尖銳程度，服從正態分佈的話，這個值是3。

雅克-貝拉檢驗

（Jarque-Bera test）

適用於大樣本情況 n>30 ，也稱 JB 檢驗 $JB=\frac{n}{6}[S^2+\frac{(K-3{)}^2}{4}]$

matlab進行JB檢驗的語法：
$$[h,p]=jbtest(Test(:,1),0.05)$$
其中，

1、第一個引數為一個向量，表示一個指標下的一組資料；

2、第二個表示顯著性水平，一般取0.05；

3、返回值 h 為1或0，1表示拒絕原假設，0表示接收原假設。

4、p就是一個概率值，p<0.05則h等於1。

（這裡h和p都是一個數值）

這裡的原假設$H_0$：這組資料服從正態分佈。

例如：h為0，表示這組資料在95%的置信水平下，接收原假設，服從正態分佈。

夏皮洛-威爾克檢驗

（Shapiro-wilk）

適用於小樣本 3≤n≤50 ,用軟體spass，匯入資料後，在“分析”->“描述統計”->“探索”–>“圖”，選中”含檢驗的正態圖“即可。

Q-Q圖

要求樣本資料量非常大（不推薦）

matlab中的函式 qqplot(Test(:,1))

1、只要一個引數，值為一個向量

2、無返回值，出現一個figure

若影像幾乎在一條直線上，則近似於正態分佈。

二、斯皮爾曼相關係數

（spearman）

計算公式：$r_s=1-\frac{6{\sum }_{i=1}^n{d}_i^2}{n(n^2-1)}$

其中，$d_i$表示$X_i$與$Y_i$之間的等級差，等級就是那一列資料按從小到大排序的排名。

另一種定義

斯皮爾曼相關係數被定義為等級之間的皮爾遜相關係數

matlab中的內建函式 corr 使用的是第二種定義方式。

corr 計算Spearman相關係數

用法

（1）corr(X,Y,‘type’,‘Spearman’)

X, Y為列向量

（2）corr(X,‘type’,‘Spearman’)

X為矩陣，計算X各列之間的相關係數

相關係數的檢驗

小樣本

n≤30，直接查臨界表即可，計算得到的相關係數 r 要大於臨界值，才能得到顯著的結論。

大樣本

比較p值

corr函式用兩個引數接收時，返回的第二個引數為p值。

三、總結

person相關係數要滿足 連續資料、正態分佈、線性關係，滿足這些條件的情況下優先使用person相關係數，否則就使用Spearman相關係數，非線性、不滿足正態分佈等都可以用spearman。

除此之外，定序資料之間也用spearman相關係數，例如，優、良、差。

一般情況下，很難滿足正態分佈的條件，所以我們用spearman相關係數。