z變換與s變換之間的轉換（一些零碎且不嚴謹的想法）

Z變換與“s變換”（拉普拉斯變換）的探討

  我們發現：z變換並不能直接對連續系統的傳遞函式G(s)進行$z=e^{s}T,s=\frac{lnz}{T}$的簡單替換。首先T的意義是取樣訊號的時間間隔，同時也是取樣頻率的倒數。而對於連續系統，“取樣時間間隔”為0。
我們做如下對比：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-st}dt=G(s)$$
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }_T(t)e^{-st}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)e^{-nsT}=G(z)$$
我們利用定積分的定義：
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\sum _{i=0}^{n-1}(f(x_1+i\cdot \Delta x)\cdot \Delta x)\right](\Delta x=(x_2-x_1)/n)$$
所以，我們可以嘗試這樣的變換（自己推的哈哈，不會嚴謹的證明）：
$$\underset{T\to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(T\cdot f(nT)e^{-nsT})=\underset{T\to 0}{\lim }\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }(f(nT)e^{-nsT}\cdot T)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-st}dt=G(s)$$
$$\Rightarrow \underset{T\to 0}{\lim }T\cdot G(z)=G(s)$$
  如$1(t)\to \frac{1}{s}\to \frac{1}{1-z^{-1}}$，（其他例子沒試過。。。）
$$\underset{T\to 0}{\lim }T\cdot \frac{1}{1-e^{-sT}}\stackrel{\text{Taylor expansion}}{\to }\underset{T\to 0}{\lim }\frac{T}{1-1-sT}=\underset{T\to 0}{\lim }\frac{T}{sT}=\frac{1}{s}$$
  或許可以試試把$s\to \frac{1-z^{-1}}{T}$？（其實不行，一個直觀的理由是：${\lim }_{T\to 0}\frac{1-z^{-1}}{T}=s$，但不過這只是一種滿射（也就是說不止一種表示式的極限等於s），所以我們暫時只能利用極限從s域變為z域）