C題：合併檢測

問題描述：

A 國準備給大量民眾進病毒核酸檢測。然而，用於檢測的試劑盒緊缺。
為了解決這一困難，科學家想了一個辦法：
合併檢測。即將從多個人（k個）採集的標本放到同一個試劑盒中進行檢測。如果結果為陰性，則說明這 k
個人都是陰性，用一個試劑盒完成了 k 個人的檢測。
如果結果為陽性，則說明至少有一個人為陽性，需要將這 k 個人的樣本全部重新獨立檢測（從理論上看，
如果檢測前 k-1 個人都是陰性可以推斷出第 k 個人是陽性，但是在實際操作中
不會利用此推斷，而是將 k 個人獨立檢測），加上最開始的合併檢測，一共使用
了 k + 1 個試劑盒完成了 k 個人的檢測。
A 國估計被測的民眾的感染率大概是 1%，呈均勻分佈。請問 k 取多少能
最節省試劑盒？

思路：

設檢測人數為n、k個人放到一個試劑盒檢測、感染率為p
第一種：都沒病，n/k，向上取整，n/k+1。由題意得知n很大，1可以省略，為n/k
第二種；感染的人恰好在n/k個試劑盒裡的其中一個，這k個人差不多都是感染人，要多檢測 np 次。
第三種情況：感染的人被平均分配，到n/k個試劑盒裡，要（n/k）* p * k * k 次，即多檢測 npk 次。
三種情況加起來，
sum=n/k+np+npk;

對k求導：
sum ’ = -n/k^2+0+np;
當
-n/k^2+0+np>=0 才能取到最小值
解得：
k^2>=100

答：k最少取10.

未完待續……