引理1: 設$m_1,m_2,m_3$是三個正整數，證明$$lcm\left(\gcd \left(m_1,m_3\right),\gcd \left(m_2,m_3\right)\right)=\gcd \left(lcm\left(m_1,m_2\right),m_3\right)$$

證明

1. 首先我們證明
   $\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)=\gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)$
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& \gcd \left(a,b\right)|a\\ & \gcd \left(a,b\right)|b\\ & \gcd \left(c,d\right)|c\\ & \gcd \left(c,d\right)|d\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \left(\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\right)|ac\\ & \left(\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\right)|ad\\ & \left(\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\right)|bc\\ & \left(\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\right)|bd\end{array}\\ & \Rightarrow \left(\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\right)|\gcd \left(ac,bd,bc,bd\right)\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|ac\\ & \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|ad\\ & \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|bc\\ & \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|bd\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|\gcd \left(ac,ad\right)=a\gcd \left(c,d\right)\\ & \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|\gcd \left(bc,bd\right)=b\gcd \left(c,d\right)\end{array}\\ & \Rightarrow \gcd \left(ac,ad,bc,bd\right)|\gcd \left(a\gcd \left(c,d\right),b\gcd \left(c,d\right)\right)=\gcd \left(a,b\right)\times \gcd \left(c,d\right)\end{array}$$
2. 然後考慮證明等式。一方面，有
   $$\begin{array}{rl}& lcm\left(\gcd \left(m_1,m_3\right),\gcd \left(m_2,m_3\right)\right)\\ & =\frac{\gcd \left(m_1,m_3\right)\times \gcd \left(m_2,m_3\right)}{\gcd \left(\gcd \left(m_1,m_3\right),\gcd \left(m_2,m_3\right)\right)}\\ & =\frac{\gcd \left(m_1,m_3\right)\times \gcd \left(m_2,m_3\right)}{\gcd \left(m_1,m_2,m_3\right)}\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& \gcd \left(lcm\left(m_1,m_2\right),m_3\right)\\ & =\gcd \left(\frac{m_1{m}_2}{\gcd \left(m_1,m_2\right)},\frac{m_3\gcd \left(m_1,m_2\right)}{\gcd \left(m_1,m_2\right)}\right)\\ & =\frac{\gcd \left(m_1{m}_2,m_3\gcd \left(m_1,m_2\right)\right)}{\gcd \left(m_1,m_2\right)}\\ & =\frac{\gcd \left(m_1{m}_2,\gcd \left(m_1{m}_3,m_2{m}_3\right)\right)}{\gcd \left(m_1,m_2\right)}\\ & =\frac{\gcd \left(m_1{m}_2,m_1{m}_3,m_2{m}_3\right)}{\gcd \left(m_1,m_2\right)}\end{array}$$
   另一方面，
   $$\begin{array}{rl}& \gcd \left(m_1,m_2\right)\gcd \left(m_1,m_3\right)\gcd \left(m_2,m_3\right)\\ & =\gcd \left({m_1}^2{m}_2,{m_1}^2{m}_3,m_1{m_3}^2,m_1{m_2}^2,{m_2}^2{m}_3,m_2{m_3}^2,m_1{m}_2{m}_3\right)\\ & =\gcd \left(m_1,m_2,m_3\right)\gcd \left(m_1{m}_2,m_1{m}_3,m_2{m}_3\right)\end{array}$$
   因此即有
   $$\begin{array}{rl}& lcm\left(\gcd \left(m_1,m_3\right),\gcd \left(m_2,m_3\right)\right)\\ & =\frac{\gcd \left(m_1,m_3\right)\gcd \left(m_2,m_3\right)}{\gcd \left(m_1,m_2,m_3\right)}\\ & =\frac{\gcd \left(m_1{m}_2,m_1{m}_3,m_2{m}_3\right)}{\gcd \left(m_1,m_2\right)}\\ & =\gcd \left(lcm\left(m_1,m_2\right),m_3\right)\end{array}$$
   
   

引理2：設$d=\gcd \left(m_1,m_2\right)$，證明同餘式組$$\{\begin{array}{rl}& x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}$$有解的充分必要條件是$d|\left(b_1-b_2\right)$。且在有解的情況下，適合該同餘式組的一切整數可由下式求出$$x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2\right)$$

其中$x_{1,2}$是適合該同餘式組的一個整數。
證明

1. 解存在性條件證明法一
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}\text{ 有解}\\ & \iff \exists x_0,k_1,k_2\in \mathbb{Z},s.t.x_0=k_1{m}_1+b_1=k_2{m}_2+b_2\\ & \iff \exists k_1,k_2\in \mathbb{Z},m_2{k}_2-m_1{k}_1=b_1-b_2\\ & \iff m_{2}x-m_{1}y=b_1-b_2有解\\ & \iff d=\gcd \left(m_2,-m_1\right)|\left(b_1-b_2\right)\end{array}$$

2. 解存在性條件證明法二
   一方面，
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1,\gcd \left(m_1,m_2\right)|m_1\\ & x\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2,\gcd \left(m_1,m_2\right)|m_2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\gcd \left(m_1,m_2\right)\\ & x\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\gcd \left(m_1,m_2\right)\end{array}\\ & \Rightarrow b_1\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\gcd \left(m_1,m_2\right)=d\\ & \Rightarrow b_1-b_2\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d\\ & \Rightarrow d|\left(b_1-b_2\right)\end{array}$$
   另一方面，
   $$\begin{array}{rl}& d=\gcd \left(m_1,m_2\right)|\left(b_1-b_2\right)\\ & \Rightarrow m_{1}x\equiv b_2-b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2有解,設其解為x\equiv x_0\\ & \Rightarrow m_1{x}_0\equiv b_2-b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}$$
   令$x_{1,2}=m_1{x}_0+b_1$，則有
   $$\{\begin{array}{rl}& x_{1,2}\equiv 0+b_1=b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x_{1,2}\equiv \left(b_2-b_1\right)+b_1=b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}$$
   原同餘式組有解$x_{1,2}$。

3. 解表達形式的證明
   在此基礎上，若同餘式組有解，設其中一個解為$x_{1,2}$，則有
   $$\{\begin{array}{rl}& x_{1,2}\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x_{1,2}\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}$$
   一方面，
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& x_{1,2}\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x_{1,2}\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}\\ & \Rightarrow x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2\right)\end{array}$$
   另一方面，
   $$\{\begin{array}{c}x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2\right)\\ m_1|lcm\left(m_1,m_2\right)\\ m_2|lcm\left(m_1,m_2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x\equiv x_{1,2}\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\\ & x\equiv x_{1,2}\equiv b_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\end{array}$$
   因此當$\exists x_{1,2}\in \mathbb{Z},x_{1,2}\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2$時，同餘式組一切整數解可以表示為
   $$x\equiv x_{1,2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2\right)$$
   
   

定理1：同餘式組$$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2,\cdots ,k$$有解的充分必要條件是$$\gcd \left(m_i,m_j\right)|\left(b_i-b_j\right),i,j=1,2,\cdots ,k$$並且在有解的情況下，適合該同餘式組的一切整數解可由下式求出$$x\equiv x_{1,2,\cdots ,k}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2,\cdots ,m_k\right)$$其中$x_{1,2,\cdots ,k}$是適合該同餘式組的一個整數。

證明

1. $\left(\Rightarrow \right)$
   若同餘式組
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2,\cdots ,k$$
   有解，則 ∀ p , q ∈ { 1 , 2 , ⋯   , k } \forall p,q\in \left\{ 1,2,\cdots ,k \right\} ∀p,q∈{1,2,⋯,k}，
   $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv b_p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_p\\ & x\equiv b_q\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_q\end{array}$$
   有解，由引理2有
   gcd ⁡ ( m p , m q ) ∣ ( b p − b q ) ,   ∀ p , q ∈ { 1 , 2 , ⋯   , k } \left. \gcd \left( {{m}_{p}},{{m}_{q}} \right) \right|\left( {{b}_{p}}-{{b}_{q}} \right),\text{ }\forall p,q\in \left\{ 1,2,\cdots ,k \right\} gcd(mp​,mq​)∣(bp​−bq​), ∀p,q∈{1,2,⋯,k}

2. $\left(\Leftarrow \right)$
   若$\gcd \left(m_i,m_j\right)|\left(b_i-b_j\right),i,j=1,2,\cdots ,k$，我們欲使用第一數學歸納法證明 ∀ j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , k } \forall j\in \left\{ 1,2,\cdots ,k \right\} ∀j∈{1,2,⋯,k}，同餘式組
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,1\le i\le j$$
   有解且一切解可以表示為
   $$x\equiv x_{1,2,\cdots ,j}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,\cdots ,m_j\right)$$
   當$j=1$時，有同餘式
   $$x\equiv b_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1$$
   由於$\gcd \left(1,m_1\right)=1|b_1$，由引理2，同餘式有解，且可以表示為
   $$x\equiv x_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1=\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1\right)$$
   假設 t ∈ { 1 , 2 , ⋯   , k − 1 } t\in \left\{ 1,2,\cdots ,k-1 \right\} t∈{1,2,⋯,k−1}，同餘式組
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,1\le i\le t$$
   有解且表示為
   $$x\equiv x_{1,2,\cdots ,t}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,\cdots ,m_t\right)$$
   考慮同餘式組
   $$\begin{array}{rl}& x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,1\le i\le t+1\\ & \iff \{\begin{array}{rl}& x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,1\le i\le t\\ & x\equiv b_{t+1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_{t+1}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{rl}& x\equiv x_{1,2,\cdots ,t}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,\cdots ,m_t\right)\\ & x\equiv b_{t+1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_{t+1}\end{array}\end{array}$$
   一方面，由引理1有
     gcd ⁡ ( l c m ( m 1 , ⋯   , m t ) , m t + 1 ) = gcd ⁡ (   l c m (   l c m ( m 1 , ⋯   , m t − 1 ) , m t   ) , m t + 1   ) = l c m (   gcd ⁡ (   l c m ( m 1 , ⋯   , m t − 1 ) , m t + 1   ) , gcd ⁡ ( m t , m t + 1 )   ) = ⋯ = l c m ( gcd ⁡ ( m 1 , m t + 1 ) , gcd ⁡ ( m 2 , m t + 1 ) , ⋯   , gcd ⁡ ( m t , m t + 1 ) ) \begin{aligned} & \text{ }\gcd \left( lcm\left( {{m}_{1}},\cdots ,{{m}_{t}} \right),{{m}_{t+1}} \right) \\ & =\gcd \left( \text{ }lcm\left( \text{ }lcm\left( {{m}_{1}},\cdots ,{{m}_{t-1}} \right),{{m}_{t}}\text{ } \right),{{m}_{t+1}}\text{ } \right) \\ & =lcm\left( \text{ }\gcd \left( \text{ }lcm\left( {{m}_{1}},\cdots ,{{m}_{t-1}} \right),{{m}_{t+1}}\text{ } \right),\gcd \left( {{m}_{t}},{{m}_{t+1}} \right)\text{ } \right) \\ & =\cdots \\ & =lcm\left( \gcd \left( {{m}_{1}},{{m}_{t+1}} \right),\gcd \left( {{m}_{2}},{{m}_{t+1}} \right),\cdots ,\gcd \left( {{m}_{t}},{{m}_{t+1}} \right) \right) \\ \end{aligned} ​ gcd(lcm(m1​,⋯,mt​),mt+1​)=gcd( lcm( lcm(m1​,⋯,mt−1​),mt​ ),mt+1​ )=lcm( gcd( lcm(m1​,⋯,mt−1​),mt+1​ ),gcd(mt​,mt+1​) )=⋯=lcm(gcd(m1​,mt+1​),gcd(m2​,mt+1​),⋯,gcd(mt​,mt+1​))​
   另一方面，有
   $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x_{1,2,\cdots ,t}\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i\\ & \gcd \left(m_i,m_{t+1}\right)|\left(b_i-b_{t+1}\right)\end{array},\forall 1\le i\le t\\ & \Rightarrow \gcd \left(m_i,m_{t+1}\right)|\left(x_{1,2,\cdots ,t}-b_{t+1}\right)\\ & \Rightarrow lcm\left(\gcd \left(m_1,m_{t+1}\right),\gcd \left(m_2,m_{t+1}\right),\cdots ,\gcd \left(m_t,m_{t+1}\right)\right)|\left(x_{1,2,\cdots ,t}-b_{t+1}\right)\end{array}$$
   因此有
   $$\gcd \left(lcm\left(m_1,\cdots ,m_t\right),m_{t+1}\right)|\left(x_{1,2,\cdots ,t}-b_{t+1}\right)$$
   同餘式組
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_{i}i=1,2,\cdots ,t+1$$
   有解。由第一數學歸納法證得
   $$\gcd \left(m_i,m_j\right)|\left(b_i-b_j\right),i,j=1,2,\cdots ,k\Rightarrow x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2,\cdots ,k有解$$

3. 在$\left(\Leftarrow \right)$方向的證明中，已經說明了在有解的情況下，適合該同餘式組的一切整數解可由下式求出
   $$x\equiv x_{1,2,\cdots ,k}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,m_2,\cdots ,m_k\right)$$
   其中$x_{1,2,\cdots ,k}$是適合該同餘式組的一個整數。
   
   

定理2：設$m_1,m_2,\cdots ,m_k$是$k$個正整數，${m_i}^{\prime }\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$是$m_i$的標準分解式中滿足下列要求的素數冪的乘積，即這些素數冪是在$m_1,m_2,\cdots ,m_k$標準分解式中出現的最高次冪，證明：在同餘式組$$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2,\cdots ,k$$有解的情況下，有$$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i,i=1,2,\cdots ,k\iff x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m_i}^{\prime },i=1,2,\cdots ,k$$

證明
  分別記$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i$和$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m_i}^{\prime }$，$i=1,2,\cdots ,k$，為同餘式組①和②。
  首先，由於
$$\{\begin{array}{rl}& x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i\\ & {m_i}^{\prime }|m_i\end{array},i=1,2,\cdots ,k\Rightarrow x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m_i}^{\prime }$$
因此在同餘式組①有解的情況下，同餘式組②也有解。且若$x_{1,2,\cdots ,k}$是同餘式組①的解，則$x_{1,2,\cdots ,k}$也是同餘式組②的解。基於此，有
$$\begin{array}{rl}& x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i\iff x\equiv x_{1,2,\cdots ,k}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left(m_1,\cdots ,m_k\right)\\ & x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i{}^{\prime }\iff x\equiv x_{1,2,\cdots ,k}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm\left({m_1}^{\prime },\cdots ,{m_k}^{\prime }\right)\end{array}$$
又由${m_i}^{\prime }$的取法，直接可得
$$lcm\left(m_1,\cdots ,m_k\right)=lcm\left({m_1}^{\prime },\cdots ,{m_k}^{\prime }\right)$$
因此在同餘式組①有解的情況下，有等價關係
$$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i\iff x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m_i}^{\prime },i=1,2,\cdots ,k$$

注

1. 若有某個$m_i$中的所有素數冪都不是$m_1,m_2,\cdots ,m_k$中的最高次，則取$m_i=1$，此時有
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i=1\iff x=\mathbb{Z}$$
   此時可以忽略掉這個同餘式，從而得到的等價同餘方程組裡的式子個數會變少。可以參見例題3。
2. 若同餘式組①本身無解，由①生成的同餘式組②依然有解（因為模數兩兩互素），但是此時同餘式組②的解已經不滿足同餘式組①了。
   
   

首一一元一次同餘式組的一般解法

1. 第一步：對確定的$m_1,m_2,\cdots ,m_k$，若不滿足兩兩互素，則找出滿足定理條件的${m_1}^{\prime },{m_2}^{\prime },\cdots ,{m_k}^{\prime }$，然後轉第二步；若滿足兩兩互素，直接使用孫子定理求解。
2. 第二步：根據${m_1}^{\prime },{m_2}^{\prime },\cdots ,{m_k}^{\prime }$的取法，它們是兩兩互素的，因此直接使用孫子定理解
   $$x\equiv b_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m_i}^{\prime }$$
   
   

例題

1. 求解同餘式組
   $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv 11\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}36\\ & x\equiv 7\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}40\\ & x\equiv 32\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}75\end{array}$$
   解
     對$36,40,75$進行素因子分解。
   $$\begin{array}{c}36=2^2\times \underline{3^2}\\ 40=\underline{2^3}\times 5\\ 75=3\times \underline{5^2}\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& \gcd \left(36,40\right)=2^2=4|\left(11-7\right)=4\\ & \gcd \left(36,75\right)=3|\left(11-32\right)=-21\\ & \gcd \left(40,75\right)=5|\left(7-32\right)=-25\end{array}$$
   因此原同餘式組有解。由定理2，原問題等價於求解同餘式組
   $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv 11\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9\\ & x\equiv 7\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & x\equiv 32\equiv 7\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}25\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& M_1{M_1}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9\\ & \iff 8\times 25{M_1}^{\prime }=200{M_1}^{\prime }\equiv 2{M_1}^{\prime }\equiv 1\equiv 1+9=10\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9\\ & \iff {M_1}^{\prime }\equiv 5\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9\\ & \\ & M_2{M_2}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \iff 9\times 25{M_2}^{\prime }=225{M_2}^{\prime }\equiv {M_2}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \\ & M_3{M_3}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}25\\ & \iff \left(9\times 8\right){M_3}^{\prime }=72{M_3}^{\prime }\equiv -3{M_3}^{\prime }\equiv 1\equiv 1-25=-24\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}25\\ & \iff {M_3}^{\prime }\equiv 8\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}25\end{array}$$
   根據孫子定理，同餘式組的解為
   $$\begin{array}{rl}& x\equiv \sum _{i=1}^3{M}_i{M_i}^{\prime }{b}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\left(9\times 8\times 25=1800\right)\\ & \equiv 200\times 5\times 2+225\times 1\times \left(-1\right)+72\times 8\times 7\\ & =5807\\ & \equiv 407\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1800\end{array}$$
   
   

2. 今有數不知總，以五累減之無剩，以七百十五累減之剩十，以二百四十七累減之剩一百四十，以三百九十一累減之剩二百四十五，以一百八十七累減之剩一百零九，問總數若干？
   解
     問題等價於求解同餘式組
   { x ≡ 0     m o d   5 x ≡ 10     m o d   715 x ≡ 140     m o d   247 x ≡ 245     m o d   391 x ≡ 109     m o d   187 \left\{ \begin{aligned} & x\equiv 0\text{ }\bmod 5 \\ & x\equiv 10\text{ }\bmod 715 \\ & x\equiv 140\text{ }\bmod 247 \\ & x\equiv 245\text{ }\bmod 391 \\ & x\equiv 109\text{ }\bmod 187 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​x≡0 mod5x≡10 mod715x≡140 mod247x≡245 mod391x≡109 mod187​
   對$5,\text{ 715, 247, 391, 187}$進行素因子分解。
   $$\begin{array}{c}{m}_1=5=\underline{5}\\ m_2=715=5\times \underline{11}\times \underline{13}\\ m_3=247=13\times \underline{19}\\ m_4=391=17\times \underline{23}\\ m_5=187=11\times \underline{17}\end{array}$$
   gcd ⁡ ( 5 , 715 ) = 5 ∣ ( 0 − 10 ) = − 10 gcd ⁡ ( 5 , 247 ) = gcd ⁡ ( 5 , 391 ) = gcd ⁡ ( 5 , 187 ) = 1 gcd ⁡ ( 715 , 247 ) = 13 ∣ ( 10 − 140 ) = − 130 gcd ⁡ ( 715 , 391 ) = 1 gcd ⁡ ( 715 , 187 ) = 11 ∣ ( 10 − 109 ) = − 99 gcd ⁡ ( 247 , 391 ) = gcd ⁡ ( 247 , 187 ) = 1 gcd ⁡ ( 391 , 187 ) = 17 ∣ ( 245 − 109 ) = 136 \begin{aligned} & \gcd \left( 5,715 \right)=\left. 5 \right|\left( 0-10 \right)=-10 \\ & \gcd \left( 5,247 \right)=\gcd \left( 5,391 \right)=\gcd \left( 5,187 \right)=1 \\ & \gcd \left( 715,247 \right)=\left. 13 \right|\left( 10-140 \right)=-130 \\ & \gcd \left( 715,391 \right)=1 \\ & \gcd \left( 715,187 \right)=\left. 11 \right|\left( 10-109 \right)=-99 \\ & \gcd \left( 247,391 \right)=\gcd \left( 247,187 \right)=1 \\ & \gcd \left( 391,187 \right)=\left. 17 \right|\left( 245-109 \right)=136 \\ \end{aligned} ​gcd(5,715)=5∣(0−10)=−10gcd(5,247)=gcd(5,391)=gcd(5,187)=1gcd(715,247)=13∣(10−140)=−130gcd(715,391)=1gcd(715,187)=11∣(10−109)=−99gcd(247,391)=gcd(247,187)=1gcd(391,187)=17∣(245−109)=136​
   因此原同餘式組有解。於是取
   $${m_1}^{\prime }=5,{m_2}^{\prime }=143,{m_3}^{\prime }=19,{m_4}^{\prime }=23,{m_5}^{\prime }=17$$
   得到等價同餘式組
   { x ≡ 0     m o d   5 x ≡ 10     m o d   143 x ≡ 140 ≡ 7     m o d   19 x ≡ 245 ≡ − 8     m o d   23 x ≡ 109 ≡ 7     m o d   17 \left\{ \begin{aligned} & x\equiv 0\text{ }\bmod 5 \\ & x\equiv 10\text{ }\bmod 143 \\ & x\equiv 140\equiv 7\text{ }\bmod 19 \\ & x\equiv 245\equiv -8\text{ }\bmod 23 \\ & x\equiv 109\equiv 7\text{ }\bmod 17 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​x≡0 mod5x≡10 mod143x≡140≡7 mod19x≡245≡−8 mod23x≡109≡7 mod17​
   有
     M 2 M 2 ′ ≡ 1     m o d   143 ⇔ 5 × 19 × 23 × 17 M 2 ′   ≡ 5 × 19 × ( − 38 ) M 2 ′   ≡ 19 × ( − 47 ) M 2 ′   ≡ − 35 M 2 ′ ≡ 1     m o d   143 ⇔ − 5 × 7 M 2 ′ ≡ 1 + ( 5 × 28 + 3 ) × ( − 2 )     m o d   143 ⇔ − 7 M 2 ′ ≡ − 57 ≡     m o d   143 ⇔ 7 M 2 ′ ≡ ( 7 × 8 + 1 ) + ( 7 × 20 + 3 ) × 2     m o d   143 ⇔ M 2 ′ ≡ 49     m o d   143 \begin{aligned} & \text{ }{{M}_{2}}{{M}_{2}}'\equiv 1\text{ }\bmod 143 \\ & \Leftrightarrow 5\times 19\times 23\times 17{{M}_{2}}' \\ & \text{ }\equiv 5\times 19\times \left( -38 \right){{M}_{2}}' \\ & \text{ }\equiv 19\times \left( -47 \right){{M}_{2}}' \\ & \text{ }\equiv -35{{M}_{2}}'\equiv 1\text{ }\bmod 143 \\ & \Leftrightarrow -5\times 7{{M}_{2}}'\equiv 1+\left( 5\times 28+3 \right)\times \left( -2 \right)\text{ }\bmod 143 \\ & \Leftrightarrow -7{{M}_{2}}'\equiv -57\equiv \text{ }\bmod 143 \\ & \Leftrightarrow 7{{M}_{2}}'\equiv \left( 7\times 8+1 \right)+\left( 7\times 20+3 \right)\times 2\text{ }\bmod 143 \\ & \Leftrightarrow {{M}_{2}}'\equiv 49\text{ }\bmod 143 \\ \end{aligned} ​ M2​M2​′≡1 mod143⇔5×19×23×17M2​′ ≡5×19×(−38)M2​′ ≡19×(−47)M2​′ ≡−35M2​′≡1 mod143⇔−5×7M2​′≡1+(5×28+3)×(−2) mod143⇔−7M2​′≡−57≡ mod143⇔7M2​′≡(7×8+1)+(7×20+3)×2 mod143⇔M2​′≡49 mod143​
     M 3 M 3 ′ ≡ 1     m o d   19 ⇔ 5 × 143 × 23 × 17 M 3 ′   ≡ 5 × 10 × 4 × ( − 2 ) M 3 ′   ≡ 12 × 11 M 3 ′ = 132 M 3 ′ ≡ − M 3 ′ ≡ 1     m o d   19 ⇔ M 3 ′ ≡ − 1     m o d   19 \begin{aligned} & \text{ }{{M}_{3}}{{M}_{3}}'\equiv 1\text{ }\bmod 19 \\ & \Leftrightarrow 5\times 143\times 23\times 17{{M}_{3}}' \\ & \text{ }\equiv 5\times 10\times 4\times \left( -2 \right){{M}_{3}}' \\ & \text{ }\equiv 12\times 11{{M}_{3}}'=132{{M}_{3}}'\equiv -{{M}_{3}}'\equiv 1\text{ }\bmod 19 \\ & \Leftrightarrow {{M}_{3}}'\equiv -1\text{ }\bmod 19 \\ \end{aligned} ​ M3​M3​′≡1 mod19⇔5×143×23×17M3​′ ≡5×10×4×(−2)M3​′ ≡12×11M3​′=132M3​′≡−M3​′≡1 mod19⇔M3​′≡−1 mod19​
     M 4 M 4 ′ ≡ 1     m o d   23 ⇔ 5 × 143 × 19 × 17 M 4 ′   ≡ 5 × 5 × ( − 4 ) × ( − 6 ) M 4 ′   ≡ 2 M 4 ′ ≡ 1 ≡ 1 + 23 = 24     m o d   23 ⇔ M 4 ′ ≡ 12     m o d   23 \begin{aligned} & \text{ }{{M}_{4}}{{M}_{4}}'\equiv 1\text{ }\bmod 23 \\ & \Leftrightarrow 5\times 143\times 19\times 17{{M}_{4}}' \\ & \text{ }\equiv 5\times 5\times \left( -4 \right)\times \left( -6 \right){{M}_{4}}' \\ & \text{ }\equiv 2{{M}_{4}}'\equiv 1\equiv 1+23=24\text{ }\bmod 23 \\ & \Leftrightarrow {{M}_{4}}'\equiv 12\text{ }\bmod 23 \\ \end{aligned} ​ M4​M4​′≡1 mod23⇔5×143×19×17M4​′ ≡5×5×(−4)×(−6)M4​′ ≡2M4​′≡1≡1+23=24 mod23⇔M4​′≡12 mod23​
   $$\begin{array}{rl}& M_5{M_5}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\\ & \iff 5\times 143\times 19\times 23{M_5}^{\prime }\\ & \equiv 5\times 7\times 2\times 6{M_5}^{\prime }\\ & \equiv -5{M_5}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\\ & \iff -5{M_5}^{\prime }\equiv 1+\left(3\times 5+2\right)\times 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\\ & \iff {M_5}^{\prime }\equiv -7\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\end{array}$$
   因此同餘式組的解為
   $$\begin{array}{rl}& x\equiv \sum _{i=1}^5{M}_i{M_i}^{\prime }{b_i}^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\left(5\times 143\times 19\times 23\times 17=5311735\right)\\ & \equiv M_1{M_1}^{\prime }\times 0+\left(5\times 19\times 23\times 17\right)\times 49\times 10\\ & +\left(5\times 143\times 23\times 17\right)\times \left(-1\right)\times 7\\ & +\left(5\times 143\times 19\times 17\right)\times 12\times \left(-8\right)\\ & +\left(5\times 143\times 19\times 23\right)\times \left(-7\right)\times 7\\ & =-21236920\\ & \equiv 10020\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5311735\end{array}$$
   
   

3. 求解同餘式組$$\{\begin{array}{rl}& x\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10\\ & 7x\equiv 19\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}24\\ & 2x\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\end{array}$$
   解

   1. 先將原同餘式組化簡成首一同餘式組。
        7 x ≡ 19     m o d   24 ⇔ 7 x ≡ ( 3 × 7 − 2 ) + ( 3 × 7 + 3 ) × 3     m o d   24 ⇔ x ≡ 13     m o d   24   2 x ≡ − 1     m o d   45 ⇔ 2 x ≡ − 1 + 45 = 44     m o d   45 ⇔ x ≡ 22     m o d   45 \begin{aligned} & \text{ }7x\equiv 19\text{ }\bmod 24 \\ & \Leftrightarrow 7x\equiv \left( 3\times 7-2 \right)+\left( 3\times 7+3 \right)\times 3\text{ }\bmod 24 \\ & \Leftrightarrow x\equiv 13\text{ }\bmod 24 \\ & \\ & \text{ }2x\equiv -1\text{ }\bmod 45 \\ & \Leftrightarrow 2x\equiv -1+45=44\text{ }\bmod 45 \\ & \Leftrightarrow x\equiv 22\text{ }\bmod 45 \\ \end{aligned} ​ 7x≡19 mod24⇔7x≡(3×7−2)+(3×7+3)×3 mod24⇔x≡13 mod24 2x≡−1 mod45⇔2x≡−1+45=44 mod45⇔x≡22 mod45​
      得到了等價的同餘式組
      $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10\\ & x\equiv 13\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}24\\ & x\equiv 22\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\end{array}$$

   2. 對$10,24,45$進行素因子分解。
      $$\begin{array}{c}10=2\times 5\\ 24=\underline{2^3}\times 3\\ 45=\underline{3^2}\times \underline{5}\end{array}$$
      $$\begin{array}{rl}& \gcd \left(10,24\right)=2|\left(-3-13\right)=-16\\ & \gcd \left(10,45\right)=5|\left(-3-22\right)=-25\\ & \gcd \left(24,45\right)=3|\left(13-22\right)=-9\end{array}$$
      因此原同餘式組有解。由定理2，可得到一個等價的同餘式組
      $$\{\begin{array}{rl}& x\equiv 13\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & x\equiv 22\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\end{array}$$
      $$\begin{array}{rl}& M_1{M_1}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \iff 45{M_1}^{\prime }\equiv 5{M_1}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \iff 5M_1\equiv 1+\left(5+3\right)\times \left(-2\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \iff M_1\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & \\ & M_2{M_2}^{\prime }\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\\ & \iff 8{M_2}^{\prime }\equiv 1+\left(8\times 5+5\right)\times 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\\ & \iff {M_2}^{\prime }\equiv 17\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}45\end{array}$$
      由孫子定理，同餘式組的解為
      $$\begin{array}{rl}& x\equiv \sum _{i=1}^2{M}_i{M_i}^{\prime }{b}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\left(8\times 45=360\right)\\ & \equiv 45\times \left(-3\right)\times \left(-3\right)+8\times 17\times 22\\ & =3397\\ & \equiv 157\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}360\end{array}$$