acm-(區間dp、迴文串、子序列)ICPC SG Preliminary Contest 2018 C - Making Palindromes

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對於$s$串而言，考慮設$dp[i][j][k]$表示所有長度為$len=j-i+1+k$的包含$s[i\sim j]$的子串為子序列的迴文串的個數,其也等價於在$s[i\sim j]$的基礎上再新增$k$個任意字串使得字串成為一個迴文串的方案數，注意保證這些迴文串兩兩不同，那麼$dp[1][n][n]$即為答案。假設串$s[i\sim j]=X...Y,X\ne Y$，那麼考慮這些符合條件的迴文串的特點，首先該回文串的兩端的字元可以是$26$個字母中的任意一個，不過有兩個字母比較特殊，那就是$X$和$Y$,先考慮字母$A,A\ne X,A\ne Y$，我們把$A$字母填充到這個長為$len$的迴文串兩端。如下圖所示：

由於我們要求$s[i\sim j]$必須被包含在上圖所示的迴文串中，而目前位置1和位置$len$都被一個既不是$X$又不是$Y$的字母所佔據，因此我們只能要求迴文串的$2\sim len-1$位置中包含$s[i\sim j]$，首先可以肯定上圖迴文串的$2\sim len-1$部分肯定也是一個迴文串，於是我們要求出一個長度為$len-2$的包含$s[i\sim j]$作為子序列的迴文串的個數，它等於$dp[i][j][k-2]$。

不過當$A=X$的時候，如下圖所示：

由於是左邊的$X$已經與$s[i]$相同，因此我們可以發現只要求上圖迴文串的$2\sim len-1$位置包含$s[i+1\sim j]$作為子序列即可，注意這個條件是個充要條件。如果你要問為什麼不可以包含$s[i\sim j]$作為子序列，其實只要稍加思考可以發現$s[i+1\sim j]$本身就是$s[i\sim j]$的子序列，我們求出包含$s[i+1\sim j]$作為子序列的迴文串，自然也會包含所有可能的以$s[i\sim j]$作為子序列的迴文串。不過你不能讓條件變為包含$s[i+2\sim j]$作為子序列，這樣顯然是不能通過一個$X$轉移到$s[i\sim j]$的。

那麼迴文串$2\sim len-1$包含$s[i+1\sim j]$作為子序列的方案數其實就是$dp[i+1][j][k-1]$。

如果將$X$換成$Y$也是同樣地道理。

於是我們可以將這些狀態加起來，得到$dp[i][j][k]=dp[i+1][j][k-1]+dp[i][j-1][k-1]+24dp[i][j][k-2]$。

對於$s[i\sim j]=X...X$的情況其實也就不難推了，跟上面相同，分類討論一下即可，這裡只有兩種情況，要麼最兩端字母不為$X$，有25種情況，要麼最兩端字母為$X$，這種情況單獨考慮，於是總方程為$dp[i][j][k]=dp[i+1][j-1][k]+25dp[i][j][k-2]$。

不過還有一些邊界條件需要處理。
當$k<0$時，這時候意味著沒辦法新增字元，這時候方案數一定為0。

當$i>j$時，這時候我們只需要新增$k$個任意字元就是所有的方案數，由於是迴文串，只需要決定前$\rfloor \frac{k}{2}\rfloor$個字元就可以決定整個迴文串，因此方案數為$2^{\rfloor \frac{k}{2}\rfloor }$。

當$i=j$時，這時候我們可不能當成$s[i\sim j]=X...X$的這種情況處理，因為在這種情況下你在迴文串兩端新增一個$X$就能成功契合$s[i\sim j]$兩端的$X$，但$i=j$時其實只有一個$X$,所以需要特判。這裡直接容斥即可，由於迴文串長度為$k+1$，如果無限制的話總方案數為$26^{\lfloor \frac{k+1}{2}\rfloor }$，然後除去其中不包含$s[i]$的迴文串，這些迴文串有$25^{\lfloor \frac{k+1}{2}\rfloor }$個，剩下的就是包含至少一個$s[i]$的迴文串。

這裡給出一份參考程式碼：

int dp[maxn][maxn][maxn];
char s[maxn];

inline int dfs(int i,int j,int k){
	if(k<0)return 0;
	if(~dp[i][j][k])return dp[i][j][k];
	register int &ans=dp[i][j][k];
	if(i>j)ans=qpow(26,k+1>>1,mod);
	else if(i==j)ans=sub(qpow(26,k+2>>1,mod),qpow(25,k+2>>1,mod));
	else if(s[i]==s[j])ans=sum(dfs(i+1,j-1,k),25ll*dfs(i,j,k-2)%mod);
	else ans=sum(sum(dfs(i+1,j,k-1),dfs(i,j-1,k-1)),24ll*dfs(i,j,k-2)%mod);
	return ans;
}
int main(){
	int n=rd();
	if(!n)return wrn(1),0;
	rds(s+1);
	FOR(i,0,n+2)
	FOR(j,0,n+2)
	FOR(k,0,n+1)dp[i][j][k]=-1;
	wrn(dfs(1,n,n));
}