關於特徵值和特徵向量的幾何直覺意義

對於具有n個不同特徵值的線性變換矩陣A來說

設其特徵值以及對應的特徵向量分別為：

         

轉換一下形式：

令P,V分別等於

則上式等價 於:

兩邊左乘以V的逆，

V是特徵值為對角的對角矩陣，而P是由特徵向量為列組成的方陣。V為A的相似矩陣，表徵同一個線性變換，只是觀察的角度有差異。

現在我們可以建立兩個世界座標，第一個座標是標準的座標系：

第二個座標系是由矩陣的特徵向量組成的座標系P：

       

我們嘗試分析一下，如果不斷的施加線性變換A，同一個向量在如上兩個座標系中描述的座標各是什麼樣子

設在P世界中的座標為

    

由於線性變換是用E世界的矩陣A描述的，所以，如果需要對向量v施加A變換，必須將其首先轉化為 E世界的座標系座標

 根據轉換關係：

對v(p)進行一次A變換，相當於對v(e)進行A變換，在轉換為P世界的座標，則

也就是經過m次的A變換後，E世界中的座標已經面目全非，看不出任何規律，但是從P世界的角度看，向量的變換出奇的有規律，變換後的座標全部是

的形式：

也就是

也就是經過m此A變換後，以P世界座標軸描述的座標沿每個座標軸方向，長度伸長了對應特徵值的

倍，其中i是對應P世界的某個座標軸

所以，很明顯，同一個線性變換，在E世界用很複雜的A來描述，但是在P世界，只要對角陣矩陣V即可描述。變換的特徵一眼就能看出來。

 

簡單的邏輯蘊含著深刻的對稱性原理，數學真偉大！