傳遞函式

憂鬱奔向冷的天發表於2020-10-24

開環系統(上圖去掉反饋H(s))

開環傳遞函式 G

閉環系統(上圖)

閉環傳遞函式 T(s) = G/(1+G*H)
分母為 1+G*H，1+G*H=0的根即該閉環系統的極點，可用來判斷閉環系統是否穩定。
特徵根的實數為負，即極點都在s平面的左半平面，則系統穩定
開環傳遞函式F(s) = G*H可寫作分數形式 F(s) = A(s)/B(s)，則特徵方程為 1+A(s)/B(s)=0，A(s)+B(s)=0

開環傳遞函式 G*H
根軌跡、奈奎斯特圖通過判斷開環傳遞函式的零點與極點來判斷閉環系統是否穩定。

G是機械系統、H是感測器系統
G*H為機械與感測器傳遞函式之積

loop gain, 中文將其譯作開環傳遞函式
open loop gain, 中文譯為前向通路傳遞函式

控制系統的分析方法

時域分析法

輸入x(t) X(s)=L[x(t)]
Y(s) = X(s)*T(s)
y(t) = L^-1[Y(s)]

一階控制系統 T(s) = 1/(Ts+1)
T(s) = G/(1+G*H) G=1/Ts H=1 得 T(s) = 1/(Ts+1)

二階控制系統 T(s) = Wn^2/(s^2+2*ζ*Wn*s+Wn^2)
s^2+2*ζ*Wn*s+Wn^2 = 0
討論欠阻尼過阻尼臨界阻尼無阻尼情況下的特徵根

穩定性概念

俄國李亞普諾夫1892年提出穩定性的概念
線性系統的穩定性概念：對線性系統給定初始擾動，隨著時間推移，其動態過程逐漸衰減為0
線性系統穩定的充要條件：閉環系統特徵方程的所有根都具有負實部，也就是在左半s平面
線性系統穩定的必要條件：特徵方程的係數均不為0；係數同符號
注：滿足必要條件系統不一定穩定，但不滿足一定不穩定
勞斯判據/代數判據(充要條件)：通過特徵方程建立勞斯行列陣，勞斯列陣的第一列元素所有值都大於0。好處就在於不用求解特徵方程，而是列出行列陣來判斷
注：若系統不穩定，勞斯行列陣第一列元素改變符號的次數就是特徵根在右半平面的個數。

補充

動態過程：系統從有輸入量開始到輸出量達到穩定值前的過程。動態過程有衰減、發散、等幅振盪。衰減的形式指輸出量逐漸趨於穩定。
動態效能的指標：上升時間、峰值時間、調整時間、超調量
用階躍輸入來測試系統動態效能，因為階躍是最嚴峻的工作狀態

穩態過程：時間趨於無窮時的系統響應過程。如果是穩態過程，則輸出量最終復現輸入量。
穩態效能的指標：穩態誤差
穩態誤差：反映了輸出量復現輸入量的最終精度。輸入與主反饋之差，或輸出與期望值之差
對於單位反饋系統，這兩種定義沒區別，期望值就是輸入值，如對於單位反饋(H=1)，穩態誤差為單位階躍響應的實際值與期望值之差，記作e_ss
對於非單位反饋系統，因為期望值未知，只能實現輸入與主反饋之差

誤差傳遞函式：原理性誤差傳遞函式、干擾性誤差傳遞函式、結構非線性誤差傳遞函式

對於上圖令N=0，G=G1*G2，即研究原理性誤差傳遞函式則無干擾
誤差訊號 E(s)=R(s)-B(s)
反饋訊號 B(s)=G(s)*H(s)/[1+G(s)*H(s)]*R(s)
原理性誤差傳遞函式：Φe(s) = E(s)/R(s) = 1/(1+G*H)

令輸入R=0，即研究干擾誤差傳遞函式則無輸入
干擾傳遞函式：Φn(s) = C(s)/N(s) = G2/(1+G1*G2*H)
誤差訊號 E(s)=-C(s)*H(s)
干擾誤差傳遞函式：Φen(s) = E(s)/N(s) = G2/(1+G1*G2*H)

同時有輸入與干擾時，誤差訊號E(s)=Φe(s)*R(s) + Φen(s)*N(s)