逐次平方法

如何計算

$5^{100000000000000}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12830603)$

呢？如果12830603是素數，你會設法使用費馬小定理，即使不是素數，也可以利用尤拉公式。事實上，$12830603=3571\cdot 3593$且

$\varphi (12830603)=\varphi (3571)\cdot \varphi (3593)=3570\cdot 3592=12823440$

尤拉公式告訴我們，對任何a與m，若$gcd(a,m)=1$，則

$a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

所以可利用事實

$100000000000000=7798219\cdot 12823440+6546640$

來“簡化”我們的問題：

$5^{100000000000000}=(5^{12823440}{)}^{7798219}\cdot 5^{6546640}$
$\equiv 5^{6546640}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12830603)$

現在“只”需計算5的$6546640$次冪，然後用模$12930603$進行簡化。不幸的是，數$5^{6546640}$有400多萬位數，即使用計算機計算也是很困難的。

用來計算$a^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的一個巧妙想法叫做逐次平分法。

逐次平分計算$a^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

1.將k表成2的冪次和：

$k=u_0+u_1\cdot 2+u_3\cdot 2^2+\cdots +u_r\cdot 2^r$

其中每個$u_i$是0或1。（這種表示式叫做k的二進位制展開。）

2.使用逐次平分法制作模m的a的冪次表。

$a^1\equiv A_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$a^2\equiv (a^1{)}^2\equiv A_0^2\equiv A_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$a^4\equiv (a^2{)}^2\equiv A_1^2\equiv A_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$a^8\equiv (a^4{)}^2\equiv A_2^2\equiv A_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$\cdots$
$a^{2r}\equiv (a^{2r-1}{)}^2\equiv A_{r-1}^2\equiv A_r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

注意要計算表的每一行，僅需要取前一行最末的數，平方它然後用模m簡化。也注意到表有$r+1$行，其中r是第1步中k的二進位制展開式中2的最高指數。

3.乘積

$A_0^{u_0}\cdot A_1^{u_1}\cdot A_2^{u_2}\cdots A_r^{u_r}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

同餘於$a^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。注意到所有$u_i$是0或1，因此這個數實際上是$u_i$等於1的那些$A_i$的乘積。
證明

$a^k=a^{u_0+u_1\ast 2+u_2\ast 2^2+\cdots +u_r\ast 2^r}$
$=a^{u_0}\cdot (a^2{)}^{u_1}\cdot (a^{2^2}{)}^{u_2}\cdots (a^{2^r}{)}^{u_r}$
$=A_0^{u_0}\cdot A_1^{u_1}\cdot A_2^{u_2}\cdots A_r^{u_r}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$