寫給理工科人看的樂理（二）十二平均律與五線譜

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在第一講中我們已經提到了純八度（中央do和高音do），想必朋友們已經用耳朵有了感性的認識，並知道純八度的拍音是由頻率比為1:2的兩個單音構成。物理和數學的原因決定了純八度的兩個單音的頻率比例，但這遠遠不足以構成音樂的，接下來我們就要學習如何在這兩個單音之間產生更多的單音。在展開這些知識之前，本著理工科追本溯源的精神，我們先了解一下樂理是如何發展起來的，然後再談理論。

一、樂理髮展史 · 之一

人類的三大類樂器類別：絃樂，管樂和打擊樂有其分別的來源，但音律系統則基本上是從音調變化最豐富的絃樂上發展起來的。絃樂就是利用琴絃的振動發出聲音，琴絃振動部分的長短、粗細、質量、密度等因素綜合決定了它振動的頻率。一般來講兩根同質琴絃的長度比等於它們所發出聲音訊率的反比，這成為了制定音律標準的最佳性質。

小提琴琴絃的振動（慢鏡頭）

要使不同的音組合在一起形成音樂，必須定出這些音的相對音高，並將悅耳動聽的音進行組合；此外還要定出絕對音高，使同一首音樂到哪裡演奏都有相同的效果。因此早期的人們以一根固定長度的琴絃為準，將其作為標準音高，然後用各種不同的比例切分這根琴絃，從而得到了多種不同的音高。這些音律的具體制定過程我們留到後文再行說明。

為了便於記錄和表達這些音高，人們發展出了表示相對音高的十二平均律系統和表示絕對音高的五線譜系統。這些音律系統歷經上千年的變革與改進，並隨著數學水平的發展不斷提高而趨於穩定，最終形成如今龐大而複雜的理論體系。後文的相關內容也是圍繞相對音高和絕對音高兩大系統展開的。

目前世界上最通用的音律體系——十二平均律的歷史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中國人何承天。公元16世紀的明朝人的朱載堉（朱元璋的九世孫）將十二平均律發展為完整的理論水平，到16世紀末，由當時教皇國的傳教士利瑪竇將十二平均律法從中國帶回西方，直到17世紀才開始在歐洲大陸廣泛流傳。中國人發明了十二平均律，但中國文明自清朝開始的衰落，使得中國古典音樂的理論水平與西方音樂的差距越來越大，直到沒落於下里巴人。

圖1 明代朱載堉的《樂律全書》中對十二平均律的記載

當西方有了十二平均律這一黃金律法，新的和聲理論、自然調式（念“Diao Shi”，不念Debug）和各種相關調性也就隨之產生了，而這些系統則幾乎全是由西方發展出來的。我們目前聽到的所有古典音樂和現代音樂（包括流行、搖滾、歌舞劇）都是基於西方的音樂理論。

西方古典音樂（維基百科）可以說發源於文藝復興時期（1400年到1600年），在文藝復興時期結束時，音樂藝術已經有了長足的發展。人們獲得了改進的和新發明的各種樂器， 比如新式的小提琴、羽管鍵琴（也叫大鍵琴，是鋼琴的前身）、雙簧管（尚未從蕭姆管中完全脫胎）等等。還得到了新的演奏和作曲技法，比如更復雜的和聲技巧，對位法技巧等等。當然，還有最重要的東西：五線譜。在文藝復興時期之後的巴洛克時期，這些新玩意幫助音樂家們進一步的挖掘音樂理論層面的東西，現代樂理就是在這一時期逐步發展完善的。

圖2 一臺巴洛克時期的羽管鍵琴

西方音樂長期以來都是為教會服務的，西方宗教也非常重視音樂藝術的發展。音樂課是教會學校的主要課程，很多音樂理論也都來自於教會音樂家。當時的調式系統稱作“古教會調式體系”，一共有12種，現在只有少數仍在使用，包括對應自然大調的“伊奧尼亞”調式和對應自然小調的“愛奧尼亞”調式。關於調式與調性的知識，會在後面的內容中做進一步介紹。

歷史課就暫時上到這裡，下面我們開始分別介紹十二平均律和五線譜。

二、十二平均律

十二平均律（維基百科）是音樂中最底層的系統，規定了兩個單音的相對音高，就像計算機中的二進位制系統規定了各種運算方式一樣。簡單來講，十二平均律體系將一個“純八度”（暫不理會為什麼叫做“純八度”）分成12份，每份稱為1個半音，兩份為1個全音，以此定出所有中間的單音。現在我們有了好幾個需要定義的名詞，下面將是一大堆嚴謹的數學定義，但是作為理工科人的我們還怕這些嗎？

為了表示相對音高，首先要給出音程的概念：音程就是兩個音之間的頻率差距，用音數來衡量。頻率不同則音不同，而從數學上講頻率是連續的，因此音也是連續不可數的。但是十二平均律系統規定了離散的音的產生方法，這樣我們就可以“數出”音程了。

上節課我們已經學到頻率比為1:2的兩個單音之間的音程被定義為“純八度”，例如某個單音的頻率為f，那麼它與頻率為2f的另一個單音之間就構成了一個“純八度”音程。按照十二平均律系統，我們可以以f為基準音，在區間[f,2f]內得到13個不同的單音，它們的頻率分別為：f×2112，f×2212，…，f×21112，f可以視為f×2012，2f可以視為f×21212。如果將f設定為440Hz，從f到2f這13個單音的頻率就可以用前述公式算出，把它們畫在座標系中如圖3所示。

圖3 440Hz到880Hz的“純八度”音程中的13個單音

注意每兩個相鄰的單音之間是等比關係，比例是2–√12，因此它們所構成的是一條指數曲線。根據上述方法，給定任意基準頻率f，我們都可以在區間[f,2f]中構造出13個單音。十二平均律系統規定任兩個相鄰的音之間的音數為0.5，那麼給定兩個音的音程為t（即兩音之間相隔的音的數量*0.5）和較低的一個音的頻率為fa，我們就可以算得較高那個音的頻率fb：fb=fa×22t/12=fa×2t/6。13個單音之間不同的音程一共只有12種，人們給它們都起了名字：

相差音數	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
音程名稱	小二度	大二度	小三度	大三度	純四度	三全音	純五度	小六度	大六度	小七度	大七度	純八度

我把這些音程名稱都標記為紅色，就是為了提醒大家：整個樂理中有半數以上的內容都和音程相關，因此必須記住這些音程名稱和對應的相差音數，否則後面的內容無法開展。

為了方便描述，我們將音數為1的音程稱為全音，將音數為0.5的音程稱為半音。由此可知：小二度到大二度是1個半音，小三度到純四度是1個全音，純五度到純八度是2個全音加1個半音，等等。實際上，每一個音程還有其它的名稱，這叫做“異名同音”。例如小三度又稱為增二度，大六度又稱為減七度等等，有興趣可參見維基百科：音程。音數更多的音程也是存在的，但一般很少用到。

上面所述的相關概念都是關於相對音高系統的，也就是說十二平均率規定了音與音之間的頻率比例。接下來要講解內容就和絕對音高相關了，我們將使用一種新的語言來描述，那就是五線譜。

三、五線譜入門

五線譜是一種音樂語言，可以用來記錄幾乎任何形式的音樂。五線譜中記錄的最主要的東西就是音符，一個音符表達一個單音，每一個音符都具有絕對的音高。也就是說五線譜上的同一個音符在不同樂器上演奏出來的音高是相同的（忽略調校的差異）。

圖4 《北京歡迎你》（部分）

圖4所示為一個簡單五線譜，五根線從低到高分別稱作第一線、第二線、第三線、第四線和第五線。五根線中間的四個區間分別稱為第一間、第二間、第三間和第四間。這些“線”和“間”都對應不同的音高。從理工科觀點來看，一條五線譜是一個二維直角座標系，從下到上是頻率軸，從左到右是時間軸。

圖4最左邊的符號是高音譜號，現在常用的譜號只有四種：高音譜號、中音譜號、次中音譜號和低音譜號，這裡先介紹最常用的高音譜號。高音譜號代表該五線譜是一個高音譜，即確定了標記線上和間上的音符的音高。高音譜號中間的那個圈的圓心表示一個稱作G的音的位置，而高音譜號本身也是由大寫字母G演化而來的。歷史上還出現過位置更靠下的高音譜號，不過現在已經不再使用了。

圖5 常用的四種譜號

再看圖4所示的樂譜，高音譜號的右邊有一個b，這叫做降號，它畫在第三線上表示該譜的調性是F大調。降號的右側有兩個數字：2和4，它們表示節拍，即以四分音符為1拍，每小節2拍。樂譜的中間和末尾處有兩條切斷五條線的豎線，這是小節標記，兩條豎線之間是一個小節（高音譜號視為第一個小節的開始）。小節和節拍都是和節奏相關的東西，先混個眼熟即可。

線上和線間的音符標記是由一個黑豆、一條短豎線和連在短豎線一端的波浪線構成，見圖6所示。

圖6 音符的畫法

黑豆稱為符頭，短豎線稱為符杆，波浪線稱為符尾，符頭和符尾分別畫在符杆的上下兩端。可以符頭在上符尾在下，也可以反過來，這是由符頭在五線譜中的高低位置決定的。如果符頭位置較高，就應畫在符杆下方。應當注意的是還有一種音符沒有符尾；還有一種音符連符杆都沒有，用圓圈表示符頭；一些音符的符尾還可能連在一起，形成一條粗橫線，這些都和音符的時長有關，我們現在只關心符頭的高低位置，也就是音符的音高。

五線譜中的每個音符都有一個名稱，即音名。音名一共有7個，每個音名又對應一個唱名，它們分別是：

音名	A	B	C	D	E	F	G
唱名	La	Si	Do	Re	Mi	Fa	So

唱名是由一位義大利音樂理論家桂多·達萊佐從一首拉丁語聖歌的歌詞中抽取出來的。而音名則是由後來的英國人嫌拉丁唱名太麻煩，就用英語字母代替了。但過去無論是過去還是今天，A都是基準音（與主音概念不同，注意區別），ABCDEFG這樣7個音連在一起形成的音階稱為“小調音階”，不過後來大調比小調更為普及，便趨向於使用“大調音階”（CDEFGAB）的主音C作為一個純八度音程的開始。顯然，人們使用的全部音符數遠多於7個，因此唱名及其音名是迴圈使用的。五線譜中的所有音符的音名如圖7所示。

圖7 五線譜表達的所有音符

如果音符過高或過低，在五條線中畫不下了，還可以在五根線的上面或著下面加線，這些線叫做“下加X線”和“上加X線”，X可以是“一”、“二”、“三”……。比如圖7最低的音B就畫在“下加五線”上。

圖8 五線譜的表示範圍

注意相鄰的同名音符之間的音程是八度……等等，八度？難不成是第一節課講的……？嗯，說對了，第三間的C比下加一線的C的頻率的確高了一倍！再高一倍我們還可以得到上加二線的C。從圖7的譜號可知這是一個高音譜，人們規定高音譜中第二間的La，也就是圖中上面一排倒數第三個音符A，頻率是440Hz。以A為基準，其它音符的頻率就可以用十二平均律系統從中音A推算出來了，這就是基準音A的概念。然而此時我們還沒有學習五線譜中各音符之間的相對音高，這一部分內容留到下一講。

格里格《培爾金特》選段

上面這個五線譜就要複雜得多了。高音譜號的後面有4個#，這是升調號，對應的調性是E大調。節拍是6/8拍，即以八分音符為1拍，每小節6拍。下面的P為強弱標記，表示演奏的力度（音量大小），而音符上面的弧線則是延音記號，與演奏技法相關。最後有一個特殊符號，稱為休止符。五線譜裡的名詞還有很多，就像我們計算機語言中的語法是非常豐富的。更進一步的內容下一講再說。

四、總結

這一講我們學習了兩種音律系統，一種是定義單音之間相對音高的十二平均律，另一種則是定義了單音的絕對音高的五線譜系統。這裡面確實有很多數理邏輯的東西，具有一定的難度，要想理解透徹還需要仔細閱讀和思考。感到困難了嗎？請堅持下去，我會盡量讓這些知識組織得更符合理工科人學習新事物的習慣。全部樂理知識計劃用十講左右講完，為了講得清晰準確，寫一篇要花比較多的時間。我平時也很忙，只能抽空來寫，因此最快也只能一天一篇。請大家有些耐心，見諒。

好了，就到這裡，下一講將深入五線譜，以及和聲與和絃理論。最後以一首舒伯特的《鱒魚五重奏》第四樂章作為結束，請欣賞五位大師帕爾曼（小提琴）、杜普蕾（大提琴）、祖賓梅塔（低音提琴）、祖克曼（中提琴）、巴倫勃依姆（鋼琴）的輝煌演繹。

參考連結

https://www.cnblogs.com/devymex/p/3387054.html