維數定理（手推！）：證明dim(v1)+dim(v2) = dim(v1+v2) + dim(v1∩v2)

網上看了很多相關的推導，基本大同小異，相關連結（https://www.cnblogs.com/wdfrog/p/8258417.html）
弄的模稜兩可，這裡自己手推一下，希望能弄的明白一點，在張凱院老師的矩陣論中的推導方法基本也是這樣。重點是在於利用交空間

有什麼問題歡迎討論 ！/拱手.jpg
證 明 d i m ( V 1 ) + d i m ( V 2 ) = d i m ( V 1 + V 2 ) + d i m ( V 1 ⋂ V 2 ) 假 設 存 在 子 空 間   V 1 , V 2 則   V 1 ⋂ V 2 = L ( z 1 , z 2 ,   . . . , z k ) = L ( Z ) , 表 示 子 空 間 相 交 由 由 Z 為 基 的 向 量 集 組 成 得 V 1 = L ( z 1 , z 2 ,   . . . , z k , x 1 , x 2 ,   . . . , x m ) = L ( Z , X ) V 2 = L ( z 1 , z 2 ,   . . . , z k , y 1 , y 2 ,   . . . , y n ) = L ( Z , Y ) 以 上 V 1 , V 2 , V 1 ⋂ V 2 之 間 的 關 系 易 得 ， 不 再 說 明 ( P S : X , Y 可 能 不 存 在 但 X , Y , Z 線 性 無 關 ) 綜 上 ： d i m ( V 1 ) = l e n ( Z ) + l e n ( X ) d i m ( V 2 ) = l e n ( Z ) + l e n ( Y ) d i m ( V 1 ⋂ V 2 ) = l e n ( Z ) 根 據 定 義 ： V 1   + V 2 = { k 1 v 1 + k 2 v 2 ∣ v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 } 即 證 明 V 1 + V 2 = L ( Z , X , Y ) 問 題 轉 換 為 向 量 集 X , Y , Z 線 性 無 關 ， 即 證 i f   k 1 x 1 +   . . . + k m x m + p 1 y 1 +   . . . + p n y n + q 1 z 1 +   . . . + q k z k = 0   t h e n   K = P = Q = 0 證 明 如 下 : k 1 x 1 +   . . . + k m x m + q 1 z 1 +   . . . + q k z k = − p 1 y 1 −   . . . − p n y n 已 知 左 式 屬 於 V 1 ， 則 { − p 1 y 1 −   . . . − p n y n } ∈ V 1 ⋂ V 2 但 從 V 2 的 定 義 已 知 Z , Y 線 性 無 關 ， 得 K = P = Q = 0 得 證 \begin{aligned} & 證明dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V_1 \bigcap V_2) \hspace{20cm}\\ & 假設存在子空間\space V_1,V_2 \\ &則\space V_1 \bigcap V_2 = L(z_1,z_2,\space_{...},z_k)=L(Z),表示子空間相交由由Z為基的向量集組成\\ &得 \\ &V_1=L(z_1,z_2,\space_{...},z_k,x_1,x_2,\space_{...},x_m) = L(Z,X) \\ &V_2 = L(z_1,z_2,\space_{...},z_k,y_1,y_2,\space_{...},y_n)=L(Z,Y) \\ &以上V_1, V_2, V_1 \bigcap V_2 之間的關係易得，不再說明(PS:X,Y可能不存在但X,Y,Z線性無關) \\ & 綜上：\\ & \hspace{6.5cm} dim(V_1) = len(Z)+len(X)\\ & \hspace{6.5cm} dim(V_2) = len(Z)+len(Y)\\ & \hspace{6.7cm} dim(V_1 \bigcap V_2) = len(Z) \\ & 根據定義：V_1 \space+ V_2 = \{k_1v_1+k_2v_2|v_1\in V_1,v_2\in V_2\} \\ &即證明 \\ & \hspace{6.7cm} V_1+V_2 = L(Z,X,Y) \\ & 問題轉換為向量集X,Y,Z線性無關，即證\\ & \hspace{4.5cm} if \space k_1x_1+\space_{...}+k_mx_m+p_1y_1+\space_{...}+p_ny_n+q_1z_1+\space_{...}+q_kz_k=0 \space \\ & \hspace{7cm} then \space K=P=Q=0 \\ & 證明如下:\\ & \hspace{5cm} k_1x_1+\space_{...}+k_mx_m+q_1z_1+\space_{...}+q_kz_k = -p_1y_1-\space_{...}-p_ny_n \\ & 已知左式屬於V_1，則\{-p_1y_1-\space_{...}-p_ny_n\} \in V_1 \bigcap V_2 \\ & 但從V_2 的定義已知 Z,Y線性無關， 得\\ & \hspace{7.25cm} K=P=Q=0 \\ & 得證 \end{aligned} ​證明dim(V1​)+dim(V2​)=dim(V1​+V2​)+dim(V1​⋂V2​)假設存在子空間 V1​,V2​則 V1​⋂V2​=L(z1​,z2​, ...​,zk​)=L(Z),表示子空間相交由由Z為基的向量集組成得V1​=L(z1​,z2​, ...​,zk​,x1​,x2​, ...​,xm​)=L(Z,X)V2​=L(z1​,z2​, ...​,zk​,y1​,y2​, ...​,yn​)=L(Z,Y)以上V1​,V2​,V1​⋂V2​之間的關系易得，不再說明(PS:X,Y可能不存在但X,Y,Z線性無關)綜上：dim(V1​)=len(Z)+len(X)dim(V2​)=len(Z)+len(Y)dim(V1​⋂V2​)=len(Z)根據定義：V1​ +V2​={k1​v1​+k2​v2​∣v1​∈V1​,v2​∈V2​}即證明V1​+V2​=L(Z,X,Y)問題轉換為向量集X,Y,Z線性無關，即證if k1​x1​+ ...​+km​xm​+p1​y1​+ ...​+pn​yn​+q1​z1​+ ...​+qk​zk​=0 then K=P=Q=0證明如下:k1​x1​+ ...​+km​xm​+q1​z1​+ ...​+qk​zk​=−p1​y1​− ...​−pn​yn​已知左式屬於V1​，則{−p1​y1​− ...​−pn​yn​}∈V1​⋂V2​但從V2​的定義已知Z,Y線性無關，得K=P=Q=0得證​