眾數問題分析

問題描述
•給定一個陣列，找出其中出現次數最多的那個元素（即眾數）。

核心思想
•普遍的解決思路。
•如果我們將所有元素的出現次數進行統計，並從中找出次數中的最大值，那麼，這個最大值對應的元素就是眾數。
•從這一思想出發，我總結出以下兩種演算法：
–演算法1：利用排序演算法統計
–演算法2：利用陣列或雜湊表統計

演算法1
•演算法思路：首先將陣列元素按照大小排序，然後按順序掃描一遍陣列，掃描的同時進行統計。這樣，通過一次排序和一遍掃描，我們就能夠找到眾數。
•關鍵步驟：排序，掃描統計

演算法代價分析
1、時間代價
•由於掃描的時間代價是Θ(n)的，所以演算法的總時間代價主要依賴於排序演算法的代價。
•如果我們選取Θ(nlgn)的排序演算法，最終的時間代價是Θ(nlgn)+Θ(n)= Θ(nlgn)
•Θ(nlgn)是基於比較的排序不可逾越的時間下界，也是該演算法能夠達到的最低代價。

2、空間代價
•掃描統計時，我們只需要三個輔助變數：一個用於計數，一個用於記錄當前出現次數最多的元素的出現次數，一個用於記錄當前出現次數最多的元素。
•所以，如果排序演算法的輔助空間是O(1)的，那麼整個演算法的輔助空間代價就是O(1)的。

改進想法
•思想：改進排序演算法，使得排序演算法在排序的同時就統計出現次數，並記錄次數最多的元素，以及刪除所有重複的元素。這樣，不僅可以減小排序的規模，並且省去了最後掃描的步驟，在一定程度上優化了該演算法。
•然而，雖然改進後的演算法比原始演算法效率高，但是由於其本質仍然是基於比較的排序演算法，所以時間代價還是Θ(nlgn)的，並沒有在數量級上取得突破。

演算法2
•演算法思路：直接統計各元素出現的次數，用某一種線性資料結構儲存統計結果。
•樸素的實現方法：用一個輔助陣列儲存統計結果，統計時用陣列下標對應相應元素。

演算法代價分析
1、時間代價
•用下標對應元素，訪問時間O(1)。順序掃描一遍原陣列，就可以得到統計結果。
•總的時間代價Θ(n)。
演算法代價分析
2、空間代價
•依賴於原陣列中元素的範圍。
•假設我們知道元素集中分佈在寬度為m的區間內，那麼我們就可以開闢大小為m的陣列用於統計。這時，最後使用的輔助空間便是O(m)的。
•然而我們一般並不能確切地知道陣列中數的範圍，或者陣列中元素的分佈非常稀疏（即陣列中有相當比例的空間儲存的統計數為0）。這時，下標連續分佈的、上下界明確的陣列就難以承擔其職責了。
•因此，我們必須改進資料結構，以更加廣泛地適應演算法的需求。

改進想法
•核心思想：採用雜湊表。
•雜湊表的優點：儲存靈活，檢索效率高。
•因此，使用雜湊表能夠有效地替代陣列，實現演算法的功能。
•雜湊表的缺點：空間利用率低。
•據實驗，當雜湊表的負載因子小於0.5時，雜湊表在大部分情況下的檢索長度小於2。但是，如果超過0.5，雜湊表的效能就會急劇下降。
•因此，如果原陣列元素分佈稠密，使用雜湊表的空間效率就要低於使用陣列。
改進後演算法的代價分析
•前提假設：雜湊表的效能良好（負載因子小於0.5）

1、時間代價
•同樣是掃描一遍，然而每一次的平均探查長度大於1。因此，時間效率要比陣列低。
•但是，由於雜湊表效能良好，平均探查長度小於2，所以時間代價依然是O(n)的。
改進後演算法的代價分析
2、空間代價
•如果原陣列中共有m個不同的元素，那麼，由於負載因子小於0.5，因此雜湊表的大小至少是2m。空間效率低於元素稠密時的陣列，但是可能會遠高於資料稀疏時的陣列。

演算法比較
•這份報告中主要介紹了兩種演算法思想。他們各有利弊，對比如下：
1、基於排序的演算法
•時間代價：Θ(nlgn)
•空間代價：O(1)
2、直接統計的演算法
•時間代價：Θ(n)
•空間代價：Ω(m)
•從以上對比，我們可以看出：演算法2是利用空間換時間，雖然使用了大量的輔助空間，但是時間代價要遠低於演算法1。
•我們的演算法設計，就是一個權衡利弊的過程。很多時候，時間和空間不可兼得，那麼，我們就要根據使用者的需求選擇合適的演算法，以實現時間更快或者空間更省。
•而對於演算法2，我們同樣面臨著選擇：使用陣列還是使用雜湊表。這一選擇基於陣列元素的分佈：如果陣列元素分佈稠密，使用陣列自然是又快又省；可是，如果分佈稀疏或是不確定，雜湊表的靈活性就派上了用場。
•因此，除了使用者需求，我們面對的資料本身也左右著我們的選擇。
•在實際應用中，眾數問題一般用於對大量資料的統計。
•下面舉一些例項，來探討實際問題中眾數問題的解決方案。
例項1
•選票統計
•data*+=,“張三”，“李四”，“李四”，“張三”，“李四”，“李四”，“棄權”，“李四”，“張三”，“李四”，“張三”，“棄權”，“張三”……-
•資料規模大，資料範圍有限，顯然用陣列更為方便。
例項2
•在一些科學實驗中，我們要對實驗資料進行統計和分析，這時眾數只是我們研究的一部分，還有其他方面（例如分佈情況）需要研究。這時，我們希望一次運算得到的資訊量更多。
•這時我們也需要用陣列。
010203040506070809010~2020~3030~4040~50資料：23.1，14.6，39.7，32.0，12.2……
範圍
10~20
20~30
30~40
40~50
分佈數
20
28
90
21
例項3
•假設1：有海量的資料需要統計，如果要排序只能通過外排序。
•假設2：硬碟空間足夠用（操作過程中不必考慮空間開銷）
•這時有一個使用者需求，要得到這些資料的眾數。
•如果用排序，我們必須考慮外排序可怕的時間代價。
•如果用陣列或雜湊表，雖然會佔用額外的硬碟儲存空間。但是，如果這些資料需要經常增刪，並且需要經常呼叫取眾數操作，那麼，儲存這些統計結果將帶來極大的方便。
總結
•解決眾數問題主要有兩種演算法思想，其中演算法2可以使用兩種不同的輔助資料結構。這三者本身都是解決眾數問題的很好的辦法，他們之間並無優劣。具體實現時，我們選擇哪種方法，要依賴於我們對時空的權衡，以及資料本身的性質。
•眾數問題雖然很簡單，但是從中折射出的關於時空權衡的考慮，是演算法設計時會普遍遇到的問題，值得大家討論和思考。

//眾數問題
/*
問題描述：
給定含有n個元素的多重集合S，每個元素在S中出現的次數成為該元素的重數。多重
集S中重數最大的元素稱為眾數。
例如， S = {1,2,2,2,3,5}。
多重集s的眾數是2，其重數為3。
程式設計任務：
對於給定的由n個自然陣列成的多重集S，程式設計計算S的眾數及其重數。
*/
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <fstream>
#include <map>

using namespace std;

int main()
{
	ifstream input("input.txt",ios::in);
	ofstream output("output.txt",ios::out);

	if (!input)
	{
		cerr<<"inputfile could not be opened"<<endl;
		exit(1);
	}

	map<int,int> number_count;

	int number;
	while(input >>number)
	{
		++number_count[number];
	}

	map<int,int>::iterator map_it  = number_count.begin();

	map_it++;
	int key = map_it->first;
	int maxcount = map_it->second;
	while(map_it != number_count.end())
	{
		if (maxcount < map_it->second)
		{
			maxcount = map_it->second;
			key = map_it->first;
		}
		++map_it;
	}
	output<<key<<endl<<maxcount;
	return 0;
}