矩陣變換：沿任意軸旋轉及其推導

1. 2D中繞原點旋轉

設基向量p,q和r分別是朝向+x,+y和+z方向的單位向量。

旋轉角度為θ，基向量p,q繞原點旋轉，得到新的基向量p`和q`

即旋轉矩陣R(θ)為

2. 3d中繞座標軸旋轉

01. 繞x軸旋轉，基向量q和r旋轉θ，得到新的基向量q`和r`

即旋轉矩陣Rx(θ)為：

02. 繞y軸旋轉，基向量p和r旋轉θ，得到新的基向量p`和r`

即旋轉矩陣Ry(θ)為：

03. 繞z軸旋轉，基向量p和q旋轉θ，得到新的基向量p`和q`

即旋轉矩陣Rz(θ)為：

3. 繞任意軸旋轉

這裡不考慮平移，所以是過原點的任意軸。

任意軸用單位向量n表示，繞n旋轉θ角度的矩陣表示為R(n,θ)，v`是向量v繞軸n旋轉後的向量

v` = vR(n,θ)

我們的目標是用v,n和θ來表示v`，具體步驟如下：

將v分解為平行於n的分向量v||和垂直於n的分向量v⊥。v`⊥是v`垂直於n的分向量。

01.根據向量投影公式有

02.根據v||算出v⊥,w是v⊥與n叉剩的結果

03.根據w算出v`⊥

04.最後算出v`

05.現在已經得到了v`與v,n和θ的關係公式，用它來計算變換後的基向量並構造矩陣，基向量p`為

06.其餘基向量類推，這裡糾正上式中列向量的寫法

07.合併為矩陣後：

更多內容參見：3d數學基礎