利用三維旋轉矩陣在空間中旋轉平面

deeebug發表於2016-03-24
矩陣

問題描述：

三維空間內，給定一個矩形平面，矩形中心點不變進行旋轉，已知面旋轉前後的法向，和四個點的座標，求旋轉後的四點座標。 


三維旋轉矩陣見維基百科 

\mathcal{M}(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x\\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix}

所圍繞的單位向量r = (x,y,z)意思是一個向量的旋轉總是要圍繞著一個軸旋轉，已知旋轉中心不是一個軸，這個軸可以是座標軸，或者單位向量r

問題中單位向量的求法：旋轉前後的法向叉乘，結果單位化即可

在運算於向量r上的時候，這等價於Rodrigues旋轉公式：

\mathcal{M} \cdot \mathbf{r} = \mathbf{r} \,\cos(\theta)+\hat{\mathbf{v}}\times \mathbf{r}\, \sin(\theta)+(\hat{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{r})\hat{\mathbf{v}}(1-\cos(\theta))


回到問題解答，旋轉前點的座標A,矩形中心點座標O，構成vector(O,A)，vector即上面的r。


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