我們描述了a^2 + b^2 = c^2的所有整數解a，b，c，如果用c^2除以這個方程得
(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1
所以有理數對(\frac{a}{c},\frac{b}{c})是方程x^2 + y^2 = 1的解
方程x^2 + y^2 = 1代表中心在（0，0）半徑為 1 的圓 C。
如何從集合角度來求圓 C 上 x 座標與 y 座標都是有理數的點
圓上有 4 個明顯的具有有理數座標的點：（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1）
假設我們取任意（有理）數 m，觀察過點（-1，0）斜率為 m 的直線 L ，直線 L 方程：y = m(x + 1),C 與 L 的交集由兩個點組成，其中一個是（-1，0），我們來求另一個。
為求 C 與 L 的交集，需要解關於 x 與 y 的方程組
x^2 + y^2 = 1\\ y = m(x +1)
將第二個方程代入第一個方程並化簡得到
(m^2 + 1)x^2 + 2m^2x + (m^2 - 1) = 0
可用二次方程求根公式求得x。但是，有一種更容易的解方程的方法。由於（-1，0）在 C 與 L 上，所以x = -1必是一個解。因此可用x + 1除以二次多項式來求另一個根。所以，另一個根是方程(m^2 + 1)x + (m^2-1) = 0的解，這意味著
x = \frac{1 - m^2}{1 + m^2}
將 x 的值帶到直線 L 的方程y=m(x+1)來求y座標：
y = m(x +1) = m(\frac{1-m^2}{1+m^2}+1) = \frac{2m}{1 + m^2}
這樣對每個有理數m得到方程x^2 + y^2 = 1的一個有理數解(\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1 + m^2})(即圓上所有有理數解的公式)
圓上的有理數公式如何與勾股陣列聯絡起來呢 ？如果將有理數m寫成分數\frac{v}{u}，則公式變成
(x,y) = (\frac{u^2-v^2}{u^2-v^2},\frac{2uv}{u^2 + v^2})
消去分母就給出勾股陣列
(a,b,c) = (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)
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