勾股陣列定理
勾股陣列定理：每個本原勾股陣列（a，b，c）（其中 a 為奇數，b 為偶數），都可以從如下公式得出：
a = st\\ b = \frac{s^2-t^2}{2}\\ c = \frac{s^2 + t^2}{2}
其中s>t\geq 1 是任意沒有公因數的奇數。
證明過程如下：
考慮 a，b 的互換性，我們的問題化為求解方程
a^2 + b^2 = c^2, a 是奇數，b 是偶數，a, b, c 沒有公因數
的所有自然數解，我們使用的工具是因式分解和整除性。
如果（a，b，c）是本原勾股陣列，則可進行因數分解
a^2 = c^2 - b^2 = (c - b)(c + b)
下面一些例子，注意我們總是取 a 是奇數且 b 偶數：
3^2 = 5^2 - 4^2 = (5 - 4)(5 + 4) = 1·9\\ 15^2 = 17^2 - 8^2 = (17- 8)(17 + 8) = 9·25\\ 35^2 = 37^2 - 12^2 = (37 -12)(37 + 12) = 25·49\\ 33^2 = 65^2 - 56^2 = (65 - 56)(65 + 56) = 9·121
似乎c - b與c + b本身總是平方數。
由前面的列表觀察可得，c -b與c + b似乎沒有公因數。
我們可以證明這個斷言：假設正整數d是c-b與c + b的公因數，即d整除c-b與c+b。則 d 也整除(c + b) + (c - b) = 2c與(c + b) - (c - b) = 2b
因此 d 整除 2b 與 2c，但是 b 與 c 沒有公因數，這是因為我們假設了（a，b，c)是本原勾股陣列，從而 d 必等於 1 或 2 。但 d 也整除（c - b)(c + b) = a^2且a是奇數，故 d 必等於 1。換句話說，整除c - b與c + b的數只能是1，所以c - b與c + b沒有公因數。
現在我們知道c - b與c + b沒有公因數而且由於(c-b)(c+b) = a^2，所以c-b與c + b的積是平方數。這種情況只有在c-b與c + b自身都是平方數時才出現，記
c + b = s^2 c - b = t^2
其中s>t\geq 1 是沒有公因數的奇數。解上面這兩個方程得
c = \frac{s^2 + t^2}{2}\\ b = \frac{s^2 + t^2}{2}\\ a = \sqrt{(c - b)(c + b)} = st
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