畢達哥拉斯定理（即勾股定理），它表明任一個直角三角形的兩條直角邊長的平方和等於斜邊長的平方。用公式表示就是
a^2 + b^2 = c^2
第一個問題是，是否存在無窮多個勾股陣列，即滿足方程a^2 + b^2 = c^2的自然數三元組（a, b, c）。答案是 “肯定的”。如果取勾股陣列（a，b，c），用整數 d 乘它，則得到新的勾股陣列（da，db，dc）。這是成立的，因為
(da)^2 + (db)^2 = d^2(a^2 + b^2) = d^2c^2 = (dc)^2
本原勾股陣列（簡寫為 PPT）
本原勾股陣列是一個三元組（a，b，c），其中 a，b，c 沒有公因數，且滿足
a^2 + b^2 = c^2
下面是得到的一些本原勾股陣列：
(3, 4, 5)\ \ (5, 12, 13)\ \ (8, 15, 17)\ \ (7, 24, 25)\\ (20, 21, 29)\ \ (9, 40, 41)\ \ (12, 35, 37)\ \ (11, 60，61)\\ (28, 45, 53)\ \ (33, 56, 65)\ \ (16, 63, 65)
由這個短表容易得到一些結論。例如，似乎 a 與 b 奇偶性不同且 c 總是奇數。
證明：首先，如果 a 與 b 都是偶數，則 c 也是偶數，這意味著 a，b，c 有公因數 2，所以三元祖不是本原的。其次，假設 a，b 都是奇數，那麼 c 必是偶數。於是存在整數 x，y，z 使得
a = 2x + 1, b = 2y + 1, c = 2z
將其帶入方程a^2 + b^2 = c^2得
(2x + 1)^2 + (2y + 1)^2 = (2z)^2\\ 4x^2 + 4x + 4y^2 + 4y + 2 = 4z^2
兩邊除以 2 得
2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z^2
最後一個等式說的是一個奇數等於一個偶數，這是不可能的，所以 a 與 b 不能都是奇數。因為我們已經證明它們不可能都是偶數，也不可能都是奇數，故它們的奇偶性不同。再由方程a^2 + b^2 = c^2可得 c 是奇數。
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