模擬積體電路設計系列部落格——8.2.3 振盪器的相位噪聲

8.2.3 振盪器的相位噪聲

振盪器的相位噪聲是一個基本特徵。因為不存在一個無損失的振盪器（那就是永動機了），任何振盪器都需要一些有源電路來維持振盪，而這些有源電路會引入噪聲。具體哪個器件引入了噪聲的機理很微妙，到了後來才逐漸變得易於理解。但是，相位噪聲的現象學事實是公認的，並且足以作為積體電路振盪器和PLL的基本認知。

積體電路振盪器的相位噪聲可以用下面的公式來建模：

\[S_{phi,osc}(f)=h_0+\frac{h_2}{f^2}+\frac{h_3}{f^3} \tag{8.2.9} \]

儘管從\((8.2.9)\)中嚴格推匯出為什麼包含這三項很困難，但是它們的存在可以透過簡單的討論理解。對環形振盪器和LC振盪器的小訊號分析基本上揭示了其極點位於右半平面，如下圖中(a)所示，因此其因此其衝激響應為一個指數發散曲線。這些振盪器的幅度最終會飽和。儘管飽和是一個非線性行為，但這個結果類似一個線性系統中極點恰好處於虛軸上的狀態，如下圖中(b)所示：振盪器保持固定幅度振盪。線性模型的頻率響應為\(G(j2\pi(f_0)+\Delta f)\)，小頻率偏移\(\Delta f\)大致恆定，極點項除外。

\[G(j2\pi(f_0)+\Delta f)=(\frac{1}{1-j(f_0+\Delta f)/jf_0})\cdot(...)=(\frac{-f_0}{\Delta f})\cdot(...) \tag{8.2.10} \]

振盪器內的噪聲透過\(|G(j2\pi(f_0)+\Delta f)|^2\)整形，根據\((8.2.10)\)其與\(1/\Delta f^2\)成正比。我們將\(1/\Delta f^2\)噪聲整形記為\(\mathcal{L}(\Delta f)\)，在實踐中可以在噪聲頻譜中觀察到這個整形，如下圖所示。

因此，振盪器閉環反饋迴路中的噪聲被振盪器的響應整形導致了\((8.2.9)\)中的\(h_2/f^2\)。一些一些噪聲源在振盪器中開關，導致了其噪聲頻譜密度在被振盪器響應整形之前上變頻。下圖展示了一個典型的例子，噪聲被一個有著振盪輸入的差分對的尾電流源引入。閃爍噪聲因此發生了上變頻，導致被閉環振盪器響應的整形後產生了\((8.2.9)\)中的\(h_3/f^3\)項。疊加在正弦曲線上的加性白噪聲會產生白相位噪聲。當白噪聲被引入振盪器（例如透過緩衝器）後會發生的情況，產生的相位白噪聲可以透過\((8.2.9)\)中的\(h_0\)來建模。

上述三種噪聲的來源可以見下圖：

\((8.2.9)\)中的相位噪聲的對數曲線如下圖所示：

角頻率\(f_c\)標記了\(1/f^2\)決定的區域到\(1/f^3\)的區域的轉折點，\(f_c\)由這兩項對\(S_{\phi}\)貢獻相同的頻率點決定：

\[f_c=\frac{h_3}{h_2} \tag{8.2.11} \]

一個潛在的應用\((8.2.9)\)做相位噪聲建模的麻煩是，閉環噪聲項\(1/f^2\)和\(1/f^3\)導致不同的噪聲源開始分離。這些具體的噪聲我們會在下一章節介紹。由於一個振盪器的絕對抖動確實會發生分離，\((8.2.9)\)的簡單相位噪聲模型公式在非常小偏移頻率\(f\)時是不精確的。問題在於將相位噪聲定義為\(\phi_k\)的噪聲頻譜密度嚴格的僅僅在相位是平穩隨機過程時才能有效。但實際上相位並不是平穩隨機過程[Gardner, 2005]。在透過長週期時間的觀察（以秒為單位）這種非靜態會導致分析問題，所以在只有幾赫茲時一般不會考慮相位噪聲。在超過這個限制之後，\((8.2.9)\)的相位噪聲模型是可靠二點，並且可以積分用於精確的估計抖動。

為了理解一個振盪器的絕對抖動的無界性，考慮P週期抖動在增大P時會發生的變化（P週期抖動指P個週期下實際相位與理想相位的誤差）。如下圖所示：

隨著P的增大，振盪器第P次過零點時間的方差增大。從定性上講，這是因為由於內部噪聲導致的振盪器狀態干擾持續存在，圍繞其閉合反饋迴路迴圈。因此，抖動成為過去所有時間的噪聲貢獻的疊加，並且無限制地增長。隨著 P 的增加，積分中包含更多的低頻相位噪聲，因此產生的 P 週期抖動會增加。如下圖所示[Liu, 2004]：

\(h_2/f^2\)的相位噪聲分量導致 P 週期抖動與\(\sqrt{P}\)成正比增加，透過公式表達為：

\[\sigma_{J(P)}=\sqrt{h_2T_0^3}\cdot \sqrt{P} \tag{8.2.12} \]

一旦P變得足夠大，低於\(f_c\)的頻率就會產生顯著影響。\(h_3/f^3\)項就會導致 P 週期抖動與\(P\)成正比例增長，兩種行為之間的轉換點為：

\[P_c\approx \frac{1}{25T_0f_c} \tag{8.2.13} \]

透過上圖中的時域測量結果，\((8.2.12)\)和\((8.2.13)\)可以用於估算積體電路振盪器的相位噪聲。

例題：

觀察不同P在\(1.5 GHz\)下工作的VCO的P週期抖動，以獲得如上圖所示的曲線，得到\(P_c=30\)。10 個週期 (\(P=10\))的P週期抖動均方根為2.0ps。使用\((8.2.9)\)的模型估計VCO的相位噪聲，但忽略白相噪聲項，因為該項僅在非常高的頻率下才重要。

解答：

將\(P=10\)，\(\sigma_{J(10)}=2ps\)以及\(T_0=(1/1.5\cdot 10^9)\)代入\((8.2.12)\)，可以得到\(h_2\approx 1350 rad^2\cdot Hz\)。使用\((8.2.13)\)，代入\(P_c=30\)得到\(f_c\approx 2MHz\)。隨後代入\((8.2.11)\)可以得到\(h_3 \approx 2.7\cdot 10^9 rad^2\cdot Hz^2\)。因此，VCO的相位噪聲建模為：

\[S_{\phi,osc}(f)=\frac{1350rad^2\cdot Hz}{f^2}+\frac{2.7 \cdot10^9 rad^2\cdot Hz}{f^3} \tag{8.2.14} \]