前言
廓清認知
- 兩個事件互斥是指兩個事件的發生相互排斥，一個若發生，則另一個必然不會發生，當然還可能出現兩個事件都沒有發生，如投擲一次正方體骰子，出現點數為 \(1\) 和出現點數為 \(2\) 是互斥的，可以推廣到任意有限個事件互斥；兩個事件是相互獨立的，直覺上是指：在一次實驗中，一個事件的發生不會影響到另一事件發生的機率，這兩個事件沒有任何關係，也可以推廣到任意有限個事件相互獨立但這個難度大得多。詳細引申請參閱；如在兩個人的射擊事件中，“甲擊中靶心” 和 “乙擊中靶心” 兩個事件是相互獨立的 .需要注意的是，“互斥”描述的是事件（集合）關係，“獨立” 描述是機率關係，二者不在同一維度，不要試圖將二者聯絡到一起。
也正因為互斥研究的是事件（集合）[事件也是集合，故事件就可以用集合直接表示]關係，所以是互斥關係在先，而機率關係在後，即\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，因此用機率關係推導互斥關係是錯誤的 .[1]，而相互獨立研究的是機率關係，即對任意兩個事件 \(A\) 和 \(B\) ，若滿足關係 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，則兩個事件 \(A\) 和 \(B\) 是相互獨立的，因此它是可以用 \(P(AB)=P(A)P(B)\)來推導 \(A\) 和 \(B\) 是相互獨立的 .
- 兩種關係的判定方法：
互斥的判定方法：①題目直接給定；②根據題意分析得到互斥關係；
相互獨立的判定方法：①題目直接給定；②根據題意分析得到獨立關係；③定義法 \(P(AB)=P(A)P(B)\)；④轉化法；
結論引申
法1：若事件 \(A\)，\(B\) 相互獨立，則 \(P(AB)=P(A)P(B)>0\)，則 \(AB\neq\varnothing\)，故事件 \(A\)，\(B\) 不是互斥的；
若事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，\(AB=\varnothing\)，那麼 \(P(AB)=0\)，於是 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)，則 \(A\)，\(B\) 不相互獨立；
綜上所述，事件 \(A\)，\(B\) 相互獨立與 \(A\)，\(B\) 互斥不能同時成立 ，言下之意，如果事件 \(A\)，\(B\) 是相互獨立的，則事件 \(A\)，\(B\) 一定不是互斥的；如果事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，則 \(A\)，\(B\) 一定不是相互獨立的；
法2：我們知道，對任意事件而言，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)※\)，那麼事件 \(A\)，\(B\) 若相互獨立，則 \(P(AB)=P(A)P(B)①\)，若事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，\(P(A+B)=P(A)+P(B)②\)，將 ①②同時代入 ※式，得到 \(0=-P(A)P(B)\)，這個等式不成立，故事件 \(A\)，\(B\) 相互獨立與 \(A\)，\(B\) 互斥不能同時成立 .
[研討]設事件\(A\)、\(B\)，已知\(P(A)=\cfrac{1}{5}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{3}\)，\(P(A\cup B)=\cfrac{8}{15}\)，則\(A\)，\(B\)之間的關係一定是【】
\(A.兩個任意事件\) \(B.互斥事件\) \(C.非互斥事件\) \(D.對立事件\)
網上解答：由於\(P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)\)，所以\(A\)，\(B\)之間的關係為互斥事件，故選\(B\).
研討：本題目若事件 \(A\)，\(B\) 同屬於同一個實驗，則由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，可知\(A\)，\(B\)之間的關係為互斥事件，故選\(B\).
若事件 \(A\)，\(B\) 屬於不同的兩個實驗，則由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，並不一定能得到\(A\)，\(B\)之間的關係為互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互獨立事件。
【廓清認知】在同一個試驗中 [這是必須首先滿足的大前提] 的任意兩個事件 \(A\)，\(B\)，若互斥，則必然滿足 \(P(A\cup B)\)\(=P(A)+P(B)\) . ↩︎