BZOJ 1096 [ZJOI2007]倉庫建設：斜率優化dp

Leohh發表於2018-02-03
優化

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

題意：

　　有n個工廠，從左往右排成一排，分別編號1到n。

　　每個工廠裡有p[i]件產品，到1號工廠的距離為x[i]，在此處建一個倉庫的花費為c[i]。

　　現在你需要建造一些倉庫，使得所有產品都被運送到倉庫中來。

　　產品只能從左往右運輸。每一件產品運輸一個單位距離的花費為1。

　　問你最小總花費（運輸費 + 建倉庫花費）。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i]表示在工廠i建了一個倉庫，並且倉庫1 to i中的產品都已經被運到倉庫中了，此時的最小總花費。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　　　因為無論如何都必須在工廠n處建一個倉庫。

　　如何轉移：

　　　　dp[i] = min dp[j] + ∑(p[k]*(x[i]-x[k])) + c[i]

　　　　(j < i, k = j+1 to i)

　　　　定義字首和陣列：sp[i] = ∑ p[j], s[i] = ∑(x[j]*p[j])

　　　　(j = 1 to i)

　　　　則原轉移方程可化簡為：

　　　　　　dp[i] = min dp[j] + x[i]*(sp[i]-sp[j]) - s[i] + s[j] + c[i]

　　邊界條件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率優化：

　　　　設j < k，且k的決策更優。

　　　　則有：dp[j] + x[i]*(sp[i]-sp[j]) + s[j]> dp[k] + x[i]*(sp[i]-sp[k]) + s[k]

　　　　整理得：(dp[j]+s[j]-dp[k]-s[k]) / (sp[j]-sp[k]) < x[i]

　　　　（注意：因為sp[j]-sp[k]<0，所以除過來之後不等式要變號）

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]+s[i]-dp[j]-s[j]) / (sp[i]-sp[j])

　　　　由於x[i]遞增，所以用單調佇列維護下凸殼即可。

 

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #define MAX_N 1000005
 5 #define INF 1000000000
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n;
10 int q[MAX_N];
11 long long x[MAX_N];
12 long long p[MAX_N];
13 long long c[MAX_N];
14 long long s[MAX_N];
15 long long dp[MAX_N];
16 
17 void read()
18 {
19     cin>>n;
20     memset(s,0,sizeof(s));
21     memset(p,0,sizeof(p));
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         cin>>x[i]>>p[i]>>c[i];
25         s[i]=s[i-1]+x[i]*p[i];
26         p[i]+=p[i-1];
27     }
28 }
29 
30 inline double slope(int i,int j)
31 {
32     return (double)(dp[i]+s[i]-dp[j]-s[j])/(p[i]-p[j]);
33 }
34 
35 void work()
36 {
37     int l=1,r=1;
38     q[1]=0,dp[0]=0;
39     for(int i=1;i<=n;i++)
40     {
41         while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=x[i]) l++;
42         dp[i]=dp[q[l]]+x[i]*(p[i]-p[q[l]])-s[i]+s[q[l]]+c[i];
43         while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
44         q[++r]=i;
45     }
46     cout<<dp[n]<<endl;
47 }
48 
49 int main()
50 {
51     read();
52     work();
53 }

 

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