BZOJ 1010 [HNOI2008]玩具裝箱toy：斜率優化dp

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

題意：

　　有n條線段，長度分別為C[i]。

　　你需要將所有的線段分成若干組，每組中線段的編號必須連續。

　　然後每組中的線段接成一排，若線段的編號為i to j，則總長度X = j - i + ∑ C[i to j]。

　　對於每一個組，花費為(X - L)^2，其中L為給定常量。

　　問你最小總花費。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i]表示已經將1 to i的線段分好組了，此時的最小總花費。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　如何轉移：

　　　　設s[i] = ∑ C[1 to i], L = L + 1.

　　　　dp[i] = min dp[j] + (s[i]-s[j]- L)^2  (0 <= j < i)

　　邊界條件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率優化：

　　　　設j < k，且k的決策更優。

　　　　則：dp[j] + (s[i]-s[j]- L)^2 > dp[k] + (s[i]-s[k]- L)^2

　　　　整理得：(dp[k]+(s[k]+L)^2-dp[j]+(s[j]+L)^2) / (2*(s[k]-s[j])) < s[i]

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]+(s[i]+L)^2-dp[j]+(s[j]+L)^2) / (2*(s[i]-s[j]))

　　　　由於s[i]遞增，所以單調佇列維護下凸殼即可。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 50005

using namespace std;

int n,L;
int q[MAX_N];
long long s[MAX_N];
long long dp[MAX_N];

inline double slope(int i,int j)
{
    return (dp[i]+(s[i]+L)*(s[i]+L)-dp[j]-(s[j]+L)*(s[j]+L))/(2.0*(s[i]-s[j]));
}

int main()
{
    cin>>n>>L; L++;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
    for(int i=2;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
    int l=1,r=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=s[i]) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+(s[i]-s[q[l]]-L)*(s[i]-s[q[l]]-L);
        while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}