Codeforces 577B Modulo Sum：數學 結論【選數之和為m的倍數】

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/448/C

題意：

　　給你n個數字，給定m。

　　問你是否能從中選出若干個數字，使得這些數字之和為m的倍數。

 

題解：

　　其實就是要找一些數字，使得之和mod m為0。

　　開一個vector，存當前已經能夠構成的數字之和mod m之後的值。

　　一開始vector為空，然後列舉n個數字a[i]，對於每個數字列舉當前vector中的值v[i]，將沒有出現過的(a[i]+v[i])%m值加入vector中。

　　最後判斷下vector中有沒有0就好。

　　然而直接做是O(nm)的過不了。

　　這時候就有一個結論：

　　　　當n>m時，一定能夠找出一些數字，使得它們之和mod m為0。

　　證明：

　　　　令sum[i]為數字a[1 to i]的和mod m後的值。

　　　　顯然，一定有一對(i,j)使得sum[i]==sum[j] (i<j)。

　　　　所以有∑ a[i+1 to j] mod m == 0。得證。

　　這樣當n>m的時候特判一下直接輸出，否則再跑上面的做法。

　　這樣複雜度就成O(m^2)的了。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#define MAX_M 1005

using namespace std;

int n,m;
int vis[MAX_M];
vector<int> v;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    if(n>m)
    {
        cout<<"YES"<<endl;
        return 0;
    }
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        x%=m;
        for(int j=0,t=v.size();j<t;j++)
        {
            int now=(v[j]+x)%m;
            if(!vis[now])
            {
                v.push_back(now);
                vis[now]=true;
            }
        }
        if(!vis[x])
        {
            v.push_back(x);
            vis[x]=true;
        }
    }
    if(vis[0]) cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
}