Codeforces 509F Progress Monitoring：區間dp【根據遍歷順序求樹的方案數】

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/509/F

題意：

　　告訴你遍歷一棵樹的方法，以及遍歷節點的順序a[i]，長度為n。

　　問你這棵樹有多少種可能的形態。

　　遍歷方法：

　　　　used[1 ... n] = {0, ..., 0};

 

　　　　procedure dfs(v):

　　　　　　print v;

　　　　　　used[v] = 1;

　　　　　　for i = 1, 2, ..., n:

　　　　　　　　if (a[v][i] == 1 and used[i] == 0):

　　　　　　　　　　dfs(i);

 

　　　　dfs(1);

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = numbers

　　　　表示a[i to j]這些節點，以a[i]為根所能構成的樹的方案數。

 

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1][n]

 

　　如何轉移：

　　　　dp[i][j]一定以a[i]為根，且第一個訪問的子節點一定是a[i+1]。

　　　　所以將dp[i][j]分為三部分：

　　　　　　（1）根節點a[i]

　　　　　　（2）最左邊的一棵子樹a[i+1 to k]

　　　　　　（3）右邊剩下的一堆節點a[k+1 to j]

　　　　那麼根據乘法原理：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i+1][k]*右邊一堆節點的方案數

 

　　　　然而遍歷是根據節點編號從小到大訪問兒子節點的。

　　　　這就要求，對於後面的一堆節點，如果其中某一個a[x]要和a[i+1]在同一層，那麼一定要有a[i+1]<a[x]。

　　　　又因為對於右邊的一堆節點來說，最先訪問到的肯定是a[k+1]。

　　　　所以就是要保證：a[i+1]<a[k+1] or a[k+1]不存在

　　　　這樣就不用管後面的節點了，愛咋分咋分……

 

　　　　接下來考慮如何求右邊一堆節點的方案數。

　　　　a[k+1 to j]形成森林的方法數 = a[k to j]以a[k]為根的子樹的方法數。

　　　　所以右邊一堆節點的方案數 = dp[k][j]

 

　　　　最終就是：

　　　　　　if(a[i+1]<a[k+1] || k==j)

　　　　　　　　dp[i][j] += dfs(i+1,k)*dfs(k,j);

　　　　　　用記憶搜搞就行。

 

　　邊界條件：

　　　　dp[i][i] = 1

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 505
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int a[MAX_N];
long long dp[MAX_N][MAX_N];

long long dfs(int i,int j)
{
    if(i==j) return 1;
    if(dp[i][j]!=-1) return dp[i][j];
    dp[i][j]=0;
    for(long long k=i+1;k<=j;k++)
    {
        if(a[i+1]<a[k+1] || k==j)
        {
            dp[i][j]+=dfs(i+1,k)*dfs(k,j);
            dp[i][j]%=MOD;
        }
    }
    return dp[i][j];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cout<<dfs(1,n)<<endl;
}