Codeforces 909C Python Indentation：樹狀陣列優化dp

題目連結：http://codeforces.com/contest/909/problem/C

題意：

　　Python是沒有大括號來標明語句塊的，而是用嚴格的縮排來體現。

　　現在有一種簡化版的Python，只有兩種語句：

　　　　（1）'s'語句：Simple statements. 相當於一般語句。

　　　　（2）'f'語句：For statements. 相當於for迴圈，並且規定它的迴圈體不能為空。

　　然後給你一段沒有縮排的Python程式，共n行(n <= 5000)。

　　問你新增縮排後，有多少種合法且不同的Python程式。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = numbers

　　　　考慮到第i行，並且第i行的縮排有j個Tab時的合法方案數。

 

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n-1][0 to n-1]

　　　　行號從0開始標。並且對於第i行來說，它的縮排最多有i個Tab。

 

　　如何轉移：

　　　　兩種情況。

　　　　當前為dp[i][j]（用順推）。

　　　　（1）第i行為'f'，則第i+1行的縮排只能為j+1。

　　　　　　dp[i+1][j+1] += dp[i][j]

　　　　（2）第i行為's'，則第i+1行的縮排可以為[0,j]中的任意一種。

　　　　　　dp[i+1][0 to j] += dp[i][j]

 

　　邊界條件：

　　　　dp[0][0] = 1

　　　　第0行的縮排只能為0。

 

　　樹狀陣列優化：

　　　　如果按照上面的方程直接去寫的話，列舉狀態為O(N^2)，轉移的第二種情況複雜度為O(N)。

　　　　所以最壞情況下為O(N^3)，對於N = 5000肯定炸了……

　　　　所以考慮用樹狀陣列來實現轉移的第二種情況，也就是區間加法和單點查詢。

　　　　於是總複雜度變為O(N^2*logN)。

　　　　另外，樹狀陣列下標從1開始，所以之前所有的下標都要+1。

 

　　update:

　　　　其實順推也可以用差分優化掉一個n的啊……

　　　　（打比賽的時候人是瓷的……）

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 5005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int dp[MAX_N][MAX_N];
char c[MAX_N];

void update(int *dat,int k,int x)
{
    while(k>0)
    {
        dat[k]=(dat[k]+x)%MOD;
        k-=k&-k;
    }
}

int query(int *dat,int k)
{
    int sum=0;
    while(k<=n)
    {
        sum=(sum+dat[k])%MOD;
        k+=k&-k;
    }
    return (sum%MOD+MOD)%MOD;
}

void sec(int *dat,int l,int r,int x)
{
    update(dat,r,x);
    update(dat,l-1,-x);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    sec(dp[1],1,1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            int now=query(dp[i],j);
            if(now)
            {
                if(c[i]=='f')
                {
                    sec(dp[i+1],j+1,j+1,now);
                }
                else
                {
                    sec(dp[i+1],1,j,now);
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+query(dp[n],i))%MOD;
    }
    cout<<ans<<endl;
}