HDU 4055 Number String：字首和優化dp【增長趨勢——處理重複選數】

題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4055

題意：

　　給你一個由'I', 'D', '?'組成的字串，長度為n，代表了一個1~n+1的排列中（數字不重複），相鄰數字的增長趨勢。（'I'為增，'D'為減，'?'為未知）

　　問你符合條件的數列有多少種。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　表示長度為i的排列（由1~i組成），末尾為j，這樣的排列的個數

 

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n][1 to n]

 

　　如何轉移：

　　　　先考慮增長('I')。

　　　　對於dp[i][j]，是由dp[i-1][k with k < j]在末尾新增一個j得到的。

　　　　也就是：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to j-1]

 

　　　　可是在dp[i-1][k with k < j]的數列中，由可能j已經選過。

　　　　為了處理這種情況，可以想成將原來數列中 >= j的數都+1。

　　　　這樣並不影響原數列的增長性，也不影響答案。

 

　　　　對於'D'和'?'同理：

　　　　　　D: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j to i-1]

　　　　　　?: dp[i][j] = ∑ dp[i-1][1 to i-1]

 

AC Code:

// state expression:
// dp[i][j] = combinations
// i: considering ith num
// j: last num
//
// find the answer:
// sigma dp[n][1 to n]
//
// transferring:
// if increase
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][1 to j-1]
// if decrease
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][j+1 to i-1]
//
// boundary:
// dp[1][1] = 1
// others = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int ans;
int dp[MAX_N][MAX_N];
int sum[MAX_N][MAX_N];
string s;

int cal_mod(int a)
{
    return (a%MOD+MOD)%MOD;
}

int cal_sum(int i,int x,int y)
{
    if(x>y) return 0;
    if(x==0) return sum[i][y];
    return cal_mod(sum[i][y]-sum[i][x-1]);
}

void update_sum(int i,int j,int a)
{
    if(j==0) sum[i][j]=cal_mod(a);
    else sum[i][j]=cal_mod(sum[i][j-1]+a);
}

void solve()
{
    n=s.size()+1;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    dp[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(s[i-2]=='I') dp[i][j]=cal_sum(i-1,1,j-1);
            else if(s[i-2]=='D') dp[i][j]=cal_sum(i-1,j,i-1);
            else dp[i][j]=cal_sum(i-1,1,i-1);
            update_sum(i,j,dp[i][j]);
        }
    }
    ans=cal_sum(n,1,n);
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        solve();
        print();
    }
}