BZOJ 1629 [Usaco2005 Nov]Cow Acrobats：貪心【區域性證明】

題目連結：http://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1332

題意：

　　有n頭牛在“疊羅漢”。

　　第i頭牛的體重為w[i]，力量為s[i]。

　　一頭牛的壓扁程度 = 它上面所有牛的體重之和 - s[i]

　　所有牛的總壓扁程度 = 所有牛中最大的那個壓扁程度

　　問你總壓扁程度最小為多少。

 

題解：

　　貪心。

　　套路：

　　　　選取最小的一個單元——相鄰的兩頭牛，進行貪心策略的區域性證明。

 

　　貪心策略：

　　　　假設最左邊為頂部，最右邊為底部。

　　　　從左往右分別編號0...n-1。

　　　　考慮兩頭相鄰的牛：交換i和i+1兩頭牛。

　　　　壓扁程度（交換之前）：

　　　　　　i: a = sum - s[i]

　　　　　　i+1: b = sum + w[i] - s[i+1]

　　　　壓扁程度（交換之後）：

　　　　　　i: a' = sum + w[i+1] - s[i]

　　　　　　i+1: b' = sum - s[i+1]

　　　　顯然：在交換之前，b為兩者最大值；交換之後，a'為兩者最大值。

　　　　假設未交換時為最優狀態，則交換後不可能更優。

　　　　所以有：b < a'

　　　　即：sum + w[i] - s[i+1] < sum + w[i+1] - s[i]

　　　　整理得：s[i+1] + w[i+1] > s[i] + w[i]

　　　　所以貪心策略為：w+s值越大，越放在底下。

 

AC Code:

// before:
// i: sum - s[i]
// i+1: sum + w[i] - s[i+1]
// after:
// i+1: sum - s[i+1]
// i: sum + w[i+1] - s[i]
//
// f1 < f4  +w[i+1]
// f2 > f3  -w[i]
// w[i] - s[i+1] < w[i+1] - s[i]
// w[i+1] + s[i+1] > w[i] + s[i]
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define MAX_N 50005
#define INF 10000000

using namespace std;

struct Cow
{
    int w;
    int s;
    Cow(int _w,int _s)
    {
        w=_w;
        s=_s;
    }
    Cow(){}
    friend bool operator < (const Cow &a,const Cow &b)
    {
        return a.w+a.s<b.w+b.s;
    }
};

int n;
Cow cow[MAX_N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>cow[i].w>>cow[i].s;
    }
    sort(cow,cow+n);
    int sum=0;
    int ans=-INF;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans=max(ans,sum-cow[i].s);
        sum+=cow[i].w;
    }
    cout<<ans<<endl;
}