BZOJ 2442 [Usaco2011 Open]修剪草坪：單調佇列優化dp

題目連結：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2442

題意：

　　有n個數a[i]從左到右排成一排。

　　你可以任意選數，但是連續的數不能超過k個。

　　問你最大的選數之和。

 

題解：

　　表示狀態：

　　　　dp[i]表示考慮了第i個數的最大之和。

　　

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　　　將所有的數都考慮過了

 

　　如何轉移：

　　　　對於a[i]，要麼選，要麼不選。

　　　　（1）如果不選，則dp[i] = max dp[i-1]。

　　　　（2）如果選，則最多往前選k個數，且在i-k的位置一定不能選。

　　　　　　所以：

　　　　　　　　dp[i] = max dp[j] + sum(j+2,i)　(i-k-1 <= j <= i-2)

　　　　　　變成字首和的形式：

　　　　　　　　dp[i] = max dp[j] + sum[i] - sum[j+1]

　　　　　　也就是：

　　　　　　　　dp[i] = max(dp[j] - sum[j+1]) + sum[i]

　　　　　　對於dp[j] - sum[j+1]這一部分，可以用單調佇列優化。

 

　　邊界條件：

　　　　dp[0] = 0

　　　　q[head++] = Node(-1,0)

　　　　-1為假想的位置，只是為了在n == 1的時候能夠用到0這個值。

 

AC Code:

// state expression:
// dp[i] = max efficiency
// i: selected ith cow
//
// find the answer:
// max dp[n]
//
// transferring:
// dp[i] = max(dp[j] + sum(j+2,i), dp[i-1])
// dp[i] = max(dp[j] + sum[i] - sum[j+1], dp[i-1])
// dp[i] = max(dp[j] - sum[j+1] + sum[i], dp[i-1])
// i-k-1 <= j <= i-2
//
// boundary:
// dp[0] = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 100005

using namespace std;

struct Node
{
    int idx;
    long long val;
    Node(int _idx,long long _val)
    {
        idx=_idx;
        val=_val;
    }
    Node(){}
};

int n,k;
int head=0;
int tail=0;
int e[MAX_N];
long long dp[MAX_N];
long long sum[MAX_N];
Node q[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n>>k;
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>e[i];
        sum[i]=sum[i-1]+e[i];
    }
}

void solve()
{
    dp[0]=0;
    q[tail++]=Node(-1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i>=2)
        {
            while(head<tail && q[tail-1].val<dp[i-2]-sum[i-1]) tail--;
            q[tail++]=Node(i-2,dp[i-2]-sum[i-1]);
        }
        while(head<tail && q[head].idx<i-k-1) head++;
        dp[i]=max(q[head].val+sum[i],dp[i-1]);
    }
}

void print()
{
    cout<<dp[n]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}