材料力學複習總結

基本概念

材料力學基本假設

1. Continuity 連續性
2. Homogeneity 均勻性
3. Isotropy 各向同性
4. Small deformation 微小變形（結構不變）

聖維南原理 (Saint-Venant’s principle)

如用與外力系靜力等效的合力來代替原力系，則除在原力系作用區域內有明顯差別外，在離外力作用區域略遠處(例如距離約等於橫截面尺寸處)，上述代替的影響就非常微小，可以不計。

低碳鋼拉伸

把拉力 \(F\) 除以試樣橫截面的原始面積 \(A\) ，得出正應力 \(\sigma=F/A\) ；同時，把伸長量 \(\Delta l\) 除以標距的原始長度 \(l\) ，得到應變 \(\varepsilon=\Delta l/l\) 。

(1) 彈性階段 Elastic Range (\(O-b\))

\(O-a\) ，胡克定律(Hooke’s Law)

\[\sigma=E \varepsilon \]

比例極限(Proportional limit) \(\sigma_{P}\)

\(a-b\)，不是直線，但仍然彈性變形

彈性極限(Elastic limit) \(\sigma_{e}\)

(2) 屈服階段 Yielding Range (\(b-d\))

這種應力基本保持不變，而應變顯著增加

將 \(\sigma - \delta\) 曲線上應力首次下降前的最大應力判定為上屈服極限(Upper yielding limit)，將不計初始瞬時效應(即捨去第一個谷值應力)時屈服階段內最小的應力定義為下屈服極限(Lower yielding limit)

(3) 強化階段 Hardening Stage (\(d-e\))

材料所能承受的最大應力 \(\sigma_{b}\) ，稱為強度極限

Ultimate strenth , which also reflects the strength of materials

(4) 縮頸階段 Necking Range (\(e-f\))

最終拉斷

試樣拉斷後, 由於保留了塑性變形, 試樣標距由原來的 \(l\) 變為 \(l_{1}\) 。用百分比表示的比值

\[\delta=\dfrac{l_{1}-l}{l} \times 100 \% \]

稱為伸長率。

原始橫截面面積為 \(A\) 的試樣, 拉斷後縮頸處的最小截面面積變為 \(A_{1}\) , 用百分比表示的比值

\[\psi=\dfrac{A-A_{1}}{A} \times 100 \% \]

稱為斷面收縮率。

溫度應力和裝配應力

溫度變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結構由於可以自由變形，當溫度均勻變化時，並不會引起構件的內力。但在超靜定結構中，因變形受到部分或全部約束，溫度變化時，往往會引起內力。

當溫度變化為 \(\Delta T\) 時，杆件由於溫度變化引起的變形(伸長)應為

\[\Delta l_{T}=\alpha_{l} \Delta T \cdot l \]

式中 \(\alpha_{l}\) 為材料的線脹係數。

加工構件時，尺寸上產生一些微小誤差是難以避免的。對靜定結構，加工誤差只不過是造成結構幾何形狀的輕微變化，不會引起內力。但對超靜定結構，加工誤差往往要引起內力。

應力集中

因杆件外形突然變化，而引起區域性應力急劇增大的現象，稱為應力集中 (Stress Concentration)。

設發生應力集中的截面上的最大應力為 \(\sigma_{\max }\) ，同一截面上的平均應力為 \(\sigma\) ，則比值

\[K=\dfrac{\sigma_{\max }}{\sigma} \]

稱為理論應力集中因數。它反映了應力集中的程度，是一個大於 1 的因數。

實驗結果表明：截面尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應力集中的程度就越嚴重。

切應力互等定理

在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數值相等；兩者都垂直於兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。

基本應力應變模型

拉伸與壓縮

拉為正，壓為負。

軸向拉壓 \(N\) 產生正應力 \(\sigma\) ，與軸向線應變 \(\varepsilon\) (杆件長度) 和橫向應變 \(\varepsilon^{\prime}\) (橫向尺寸)

\[\sigma=E \varepsilon \]

\[\mu=-\dfrac{\varepsilon^{\prime}}{\varepsilon} \]

• \(E\)：彈性模量
• \(\mu\)：泊松比

產生單位體積應變能

\[v_{\varepsilon}=\dfrac{\sigma^{2}}{2 E}=\dfrac{1}{2} \sigma \varepsilon \]

對於長為 \(l\) 的杆，若軸向力為 \(F\)，有

\[\Delta l=\dfrac{F ~ l}{E A} \]

\[V_{\varepsilon}=\dfrac{F^{2} l}{2 E A} \]

剪下

對杆上任意一點的矩，順時針為正，逆時針為負。

剪力 \(Q\) 產生切應力 \(\tau\)。

實用計算

\[\tau = \dfrac{Q}{A} \]

扭轉

按右手法則表示為向量，與外法線方向一致為正，反之為負。

圓軸的扭轉

平面假設：圓軸扭轉變形前原為平面的橫截面，變形後仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變。

距圓心為 \(\rho\) 處的切應力

\[\tau_{\rho}=\dfrac{T \, \rho}{I_{\mathrm{p}}} \]

• \(I_{\mathrm{p}}=\int_{A} \rho^{2} \mathrm{~d} A\)：極慣性矩

對於實心圓軸，\(I_{\mathrm{p}}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \rho^{3} \mathrm{~d} \rho \mathrm{d} \theta=\dfrac{\pi R^{4}}{2}\)

相距為 \(\mathrm{d} x\) 的兩個橫截面之間的相對轉角

\[\dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=\dfrac{T}{G I_{p}} \]

• \(G\)：切變模量

\[G=\dfrac{E}{2(1+\mu)} \]

\(\mathrm{d} x\) 上的應變能

\[\mathrm{d} V_{\varepsilon}=\dfrac{T^{2} \mathrm{d} x}{2 G I_{\mathrm{p}}} \]

矩形截面杆的扭轉

\[\tau_{\max }=\dfrac{T}{\alpha h b^{2}} \]

\[\tau_{1}=\nu \tau_{\max } \]

\[\mathrm{d} \varphi=\dfrac{T \mathrm{d} x}{G I_{\mathrm{t}}} \]

• \(G I_{\mathrm{t}} = G \beta h b^{3}\)：抗扭剛度

特別地，當 \(h/b > 10\) 時，截面成為狹長矩形。這時 \(\alpha=\beta \approx \dfrac{1}{3}\)。如以 \(\delta\) 表示狹長矩形的短邊的長度，則有

\[\tau_{\max }=\dfrac{3 T}{h \delta^{2}} \]

\[\mathrm{d} \varphi=\dfrac{3 T \mathrm{d} x}{G h \delta^{3}} \]

在狹長矩形截面上，沿長邊各點的切應力實際上變化不大，接近相等，在靠近短邊處才迅速減小為零。

開口薄壁杆件的扭轉

開口薄壁杆件橫截面，可以看作是由若干個狹長矩形組成的。中線為曲線的開口薄璧杆件，計算時可將截面展直，作為狹長矩形截面處理。

假設橫截面在其本身平面內形狀不變，則整個橫截面和組成截面的各部分的扭轉角 \(\varphi\) 相等。

\[\mathrm{d} \varphi=\dfrac{T \mathrm{d} x}{G I_{\mathrm{t}}} \]

• \(G I_{\mathrm{t}}\)：開口薄壁杆件的抗扭剛度

\[I_{\mathrm{t}}=\sum \dfrac{1}{3} h_{i} \delta_{i}^{3} \]

長邊各點的切應力

\[\tau_{i}=\dfrac{T \delta_{i}}{I_{\mathrm{t}}} \]

當各狹長矩形連線處有圓角，翼緣內側有斜度時

\[I_{\mathrm{t}}=\eta \cdot \dfrac{1}{3} \sum h_{i} \delta_{i}^{3} \]

• \(\eta\)：修正因數

彎曲

在截面處彎曲變形凸向下時，截面上的彎矩規定為正，反之為負。

概念

• 中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層
• 中性軸：中性層與橫截面的交線

假設

• 平面假設：橫截面變形後仍為平面，只是繞中性軸發生轉動，距中性軸等高處，變形相等
• 縱向纖維之間無正應力（纖維內部有）

縱向纖維的應變

\[\varepsilon = \dfrac{y}{\rho} \]

• \(y\)：中性層向下位置座標
• \(\rho\)：曲率半徑

彎曲正應力

橫截面有對稱軸

中性軸應透過截面形心。

以梁橫截面的對稱軸為 \(y\) 軸，且向下為正，以中性軸為 \(z\) 軸，以透過原點的橫截面的法線為 \(x\) 軸。

正應力

\[\sigma=\dfrac{M y}{I_{z}} \]

• \(I_{z} = \int_{A} y^{2} \mathrm{~d} A\)：橫截面對 \(z\) 軸的慣性矩

• 截面是高為 \(h\) 、寬為 \(b\) 的矩形，\(I_{z}=\dfrac{b h^{3}}{12}\)

• 截面是直徑為 \(d\) 的圓形，\(I_{z}=\dfrac{\pi d^{4}}{64}\)

一般情況下，最大正應力發生於彎矩最大的截面上

\[\sigma_{\max}=\dfrac{M_{\max}}{W} \]

• \(W\)：抗彎截面係數，單位為 \(\mathrm{m}^{3}\)

• 截面是高為 \(h\) 、寬為 \(b\) 的矩形，\(W=\dfrac{b h^{2}}{6}\)

• 截面是直徑為 \(d\) 的圓形，\(W=\dfrac{\pi d^{3}}{32}\)

在彎矩較大處採用較大截面，而在彎矩較小處採用較小截面。這種截面沿軸線變化的梁，稱為變截面梁。變截面梁的正應力計算仍可近似地用等截面梁的公式。如變截面梁各橫截面上的最大正應力都相等，且都等於許用應力，就是等強度梁。

彎曲切應力

矩形截面梁

截面高度 \(h\) 大於寬度 \(b\) 的情況下，假設

• 切應力與剪力平行
• 切應力沿截面寬度均勻分佈（沿 \(z\) 軸）

則切應力為

\[\tau=\dfrac{Q S_{z}^{*}}{I_{z} b} \]

• \(S_{z}^{*}=\int_{A_{1}} y \mathrm{~d} A=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)\)：截面上距中性軸為 \(y\) 的橫線以下部分的面積（記為 \(A_{1}\)）對中性軸的靜矩
• \(I_{z}=\dfrac{b h^{3}}{12}\)：橫截面對 \(z\) 軸的慣性矩

最大切應力發生於中性軸上

\[\tau_{\max }=\dfrac{3}{2} \dfrac{Q}{b h} \]

對於工字形截面梁，腹板幾乎負擔了截面上的全部剪力，而且腹板上的切應力接近於均勻分佈。（翼緣負擔了截面上的大部分彎矩）

彎曲變形

橫力彎曲變形的基本方程

\[\dfrac{1}{\rho}=\dfrac{M}{E I} \]

• \(E I\)：抗彎剛度

發生彎曲變形時，變形前為直線的梁軸線，變形後成為一條連續且光滑的曲線，稱為撓曲線。

以變形前的梁軸線為 \(x\) 軸，垂直向上的軸為 \(y\) 軸，\(x-y\) 平面為梁的縱向對稱面。

• 撓度 \(w\)：座標為 \(x\) 的橫截面的形心沿 \(y\) 方向的位移
• 轉角 \(\theta\)：座標為 \(x\) 的橫截面相對其原來位置轉過的角度

小變形的情況下

\[\mathrm{d} w = \theta \mathrm{~d} x \]

\[\dfrac{\mathrm{d}^{2} w}{\mathrm{~d} x^{2}}=\dfrac{M}{E I} \]

彎曲應變能

\[\mathrm{d} V_{\varepsilon}=\dfrac{M^{2} \mathrm{d} x}{2 E I} \]

• 邊界條件：在固定端，撓度和轉角都為零；在鉸支座上，撓度為零
• 連續條件：在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉角

積分得

\[\theta=\dfrac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} x}=\int \dfrac{M}{E I} \mathrm{~d} x+C \]

\[w=\iint\left(\dfrac{M}{E I} \mathrm{~d} x\right) \mathrm{d} x+C x+D \]

在彎曲變形很小，且材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的微分方程是線性的。因此可以採用疊加法。

複雜受力情況下的應力應變

組合變形與疊加原理

組合變形是兩種或兩種以上基本變形組合的情況。

分析組合變形時，可先將外力進行簡化或分解，把構件上的外力轉化成幾組靜力等效的載荷，其中每一組載荷對應著一種基本變形。可分別計算每一基本變形各自引起的應力、內力、應變和位移，然後將所得結果疊加，得到構件在組合變形下的應力、內力、應變和位移，這就是疊加原理。

疊加原理的成立，要求位移、應力、應變和內力等與外力成線性關係。當不能保證上述線性關係時，疊加原理不能使用。

偏心壓縮和截面核心

截面核心：橫截面上的一封閉區域，當壓力作用點位於該區域時，截面上只有壓應力，該區域稱為截面核心。

非對稱彎曲

梁無縱向對稱面，或者雖有縱向對稱面，但載荷並不在這個平面內的情況，稱為非對稱彎曲。

設梁的軸線為 \(x\) 軸, 橫截面內透過形心的兩根任意軸為 \(y\) 軸和 \(z\) 軸。假設兩端的純彎曲力偶矩作用在 \(x-y\) 平面內, 並將其記為 \(M_{z}\) 。

此時若仍採用 (1) 平面假設; (2) 縱向纖維之間無正應力 兩個假設，則有如下結論

中性軸透過截面形心，其位置

\[\tan \theta=\dfrac{I_{y}}{I_{y z}} \]

應力

\[\sigma=\dfrac{M_{z} \eta}{I_{z} \sin \theta-I_{y z} \cos \theta}=\dfrac{M_{z}\left(I_{y} y-I_{y z} z\right)}{I_{y} I_{z}-I_{y z}^{2}} \]

• \(\eta=y \sin \theta-z \cos \theta\)：到中心軸的距離

彎曲中心

若杆件有縱向對稱面，且橫向力作用於該對稱面內，則杆件只可能在縱向對稱面內發生彎曲，不會有扭轉變形。若橫向力作用平面不是縱向對稱面，即使是形心主慣性平面，杆件除彎曲變形外，還將發生扭轉變形。只有當橫向力透過截面的某一特定點時，杆件才只發生彎曲變形而無扭轉變形，這一特定點稱為彎曲中心或剪下中心。

應力和應變分析

一點的應力狀態：過一點不同方向面上應力的集合。

應力狀態的研究物件是單元體，其特徵為：

1. 單元體的尺寸無限小，每個面上應力均勻分佈；
2. 任意一對平行平面上的應力相等。

主單元體是指各側面上切應力均為零的單元體。其中，單元體上切應力為零的面稱為主平面，主平面上的正應力稱主應力。

一點處必定存在一個單元體, 使得三個相互垂直的面均為主平面, 三個互相垂直的主應力分別記為 \(\sigma_{1}\) , \(\sigma_{2}\) , \(\sigma_{3}\) , 且規定按代數值大小的順序來排列, 即 \(\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \sigma_{3}\) 。

平面應力狀態

單元體的各面上, 設應力分量 \(\sigma_{x}, \sigma_{y}, \tau_{x y}\) 和 \(\tau_{y x}\) 皆為已知, 其餘各應力分量均為零, 這種應力狀態稱為平面應力狀態。

關於應力的符號規定為：正應力以拉應力為正而壓應力為負；切應力對單元體內任意點的矩為順時針轉向時，規定為正，反之為負。

平面應力狀態下，在法線傾角為 \(\alpha\) 的斜面上，有

\[\left(\sigma_{\alpha}-\dfrac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{\alpha}^{2}=\left(\dfrac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2} \]

這是一個圓方程，稱為應力圓。

應力圓與單元體應力間的關係：

1. 點面之間的對應關係：單元體任一截面上的應力，必對應於應力圓上某一點的座標；
2. 夾角關係：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等於單元體上對應兩截面夾角的兩倍，且兩者的轉向一致。

廣義胡克定律

在最普遍的情況下, 描述一點的應力狀態需要 9 個應力分量。考慮到切應力互等定理, \(\tau_{x y}\) 和 \(\tau_{y x}\), \(\tau_{y z}\) 和 \(\tau_{z y}\), \(\tau_{z x}\) 和 \(\tau_{x z}\) 都分別數值相等。這樣, 原來的 9 個應力分量中獨立的就只有 6 個。這種普遍情況, 可以看作是三組單向應力和三組純剪下的組合。

對於各向同性材料, 當變形很小且線上彈性範圍內時, 線應變只與正應力有關, 而與切應力無關; 切應變只與切應力有關, 而與正應力無關。則有

\[\begin{aligned} \varepsilon_{x}=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_{x}-\mu\left(\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\right] \\ \varepsilon_{y}=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_{y}-\mu\left(\sigma_{z}+\sigma_{x}\right)\right] \\ \varepsilon_{z}=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_{z}-\mu\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)\right] \end{aligned} \]

\[\gamma_{x y}=\dfrac{\tau_{x y}}{G}, \quad \gamma_{y z}=\dfrac{\tau_{y z}}{G}, \quad \gamma_{z x}=\dfrac{\tau_{z x}}{G} \]

當單元體的周圍六個面皆為主平面時, 在三個座標平面內的切應變等於零, 故座標 \(x, y, z\) 的方向就是主應變的方向。也就是說主應變和主應力的方向是重合的。所以，在主應變用實測的方法得到後, 將其代入廣義胡克定律，即可解出主應力。當然，這隻適用於各向同性的線彈性材料。

當單元體的周圍六個面皆為主平面時，體應變

\[\theta=\dfrac{\sigma_{\mathrm{m}}}{K} \]

其中

\[K=\dfrac{E}{3(1-2 \mu)}, \quad \sigma_{\mathrm{m}}=\dfrac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}}{3} \]

\(K\) 稱為體積彈性模量, \(\sigma_{\mathrm{m}}\) 是三個主應力的平均值。公式說明, 單位體積的體積改變 \(\theta\) 只與三個主應力之和有關, 至於三個主應力之間的比例, 對 \(\theta\) 並無影響。公式還表明,體應變 \(\theta\) 與平均應力 \(\sigma_{\mathrm{m}}\) 成正比, 此即體積胡克定律。

三個主應力同時存在時，單元體的應變能密度為

\[\begin{aligned} v_{\varepsilon} & =\dfrac{1}{2}\left(\sigma_{1} \varepsilon_{1}+\sigma_{2} \varepsilon_{2}+\sigma_{3} \varepsilon_{3}\right) \\ & =\dfrac{1}{2 E}\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-2 \mu\left(\sigma_{1} \sigma_{2}+\sigma_{2} \sigma_{3}+\sigma_{3} \sigma_{1}\right)\right] \end{aligned} \]

強度理論

材料失效形式主要有屈服失效和斷裂失效兩種。

（1）屈服失效：材料出現顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。

（2）斷裂失效：有脆性斷裂和韌性斷裂兩種形式。其中，脆性斷裂是指在無明顯的變形下突然斷裂；韌性斷裂是指在產生大量塑性變形後斷裂。

常用強度理論

（1）最大拉應力理論(第一強度理論)

這一理論認為最大拉應力是引起斷裂的主要因素。

相當應力

\[\sigma_{\mathrm{r} 1}=\sigma_{1} \]

（2）最大伸長線應變理論(第二強度理論)

這一理論認為最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。

相當應力

\[\sigma_{\mathrm{r} 2}=\sigma_{1}-\mu\left(\sigma_{2}+\sigma_{3}\right) \]

（3）最大切應力理論(第三強度理論)

這一理論認為最大切應力是引起屈服的主要因素。

相當應力

\[\sigma_{\mathrm{r} 3}=\sigma_{1}-\sigma_{3} \]

（4）最大畸變能密度理論(第四強度理論)

這一理論認為畸變能密度是引起屈服的主要因素。

相當應力

\[\sigma_{\mathrm{r} 4}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)^{2}+\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}\right]} \]

以上介紹了四種常用的強度理論。鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常以斷裂的形式失效，宜採用第一和第二強度理論。碳鋼、銅、鋁等塑性材料，通常以屈服的形式失效，宜採用第三和第四強度理論。

莫爾強度理論

\(\left[\sigma_{\mathrm{t}}\right]\) 和 \(\left[\sigma_{\mathrm{c}}\right]\) 分別為材料的抗拉和抗壓許用應力。

強度條件

\[\sigma_{\mathrm{r M}}=\sigma_{1}-\dfrac{\left[\sigma_{\mathrm{t}}\right]}{\left[\sigma_{\mathrm{c}}\right]} \sigma_{3} \leqslant\left[\sigma_{\mathrm{t}}\right] \]

能量方法

應變能

組合變形下，杆件的應變能計算

\[V_{\varepsilon}=\int_{l} \dfrac{N^{2}(x)}{2 E A} \mathrm{~d} x+\int_{l} \dfrac{M^{2}(x)}{2 E I} \mathrm{~d} x+\int_{l} \dfrac{M_{t}^{2}(x)}{2 G I_{p}} \mathrm{~d} x \]

互等定理 (Reciprocal Theorem)

線彈性結構

第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等於第二組力在第一組力引起的位移上所作的功，這就是功的互等定理。

當 \(F_{1}=F_{3}\) 時, \(F_{1}\) 作用點沿 \(F_{1}\) 方向因作用 \(F_{3}\) 而引起的位移, 等於 \(F_{3}\) 作 用點沿 \(F_{3}\) 方向因作用 \(F_{1}\) 而引起的位移。這就是位移互等定理。

卡氏定理 (Castigliano’s Theorem)

卡氏第一定理，適用於線性和非線性的彈性結構

\[F_{i}=\dfrac{\partial V_{\varepsilon}\left(\delta_{1}, \delta_{2}, \cdots, \delta_{i}, \cdots\right)}{\partial \delta_{i}} \]

卡氏第二定理，適用於線彈性結構

\[\delta_{i}=\dfrac{\partial V_{\varepsilon}\left(F_{1}, F_{2}, \cdots, F_{i}, \cdots\right)}{\partial F_{i}} \]

虛功原理 (Virtual Work Principle)

外力所做的虛功等於內力在相應虛位移上所做的功，也等於杆件的虛應變能 。

單位載荷法 莫爾積分

利用虛功原理可以匯出計算結構一點位移的單位載荷法。設在外力 \(F\) 作用下, 結構 \(A\) 點沿某一任意方向 \(a a\) 的位移為 \(\Delta\)。結構上各點的廣義位移為 \(\mathrm{d} \delta\)。

為了計算 \(\Delta\) , 設想在同一結構的 \(A\) 點上, 沿 \(a a\) 方向作用一單位力, 它與約束力組成平衡力系。這時結構的內力為 \(\bar{F}\)。

把結構在原有外力 \(F\) 作用下的位移作為虛位移, 加於單位力作用下的結構上。根據虛功原理

\[1 \cdot \Delta = \int{\bar{F} \mathrm{~d} \delta} \]

因為單位力 \(1\) 沒有量綱，因此單位力引起的內力 \(\bar{F}\) 也應沒有量綱。

對以抗彎為主的杆件

\[\Delta=\int_{l} \bar{M}(x) \mathrm{d} \theta \]

\[\mathrm{d} \theta=\dfrac{M(x)}{E I} \mathrm{~d} x \]

對有 \(n\) 根杆的杆系, 只有軸力的拉伸或壓縮

\[\Delta=\sum_{i=1}^{n} \bar{N}_{i} \Delta l_{i} \]

\[\Delta l=\dfrac{N \, l}{E A} \]

有時需要求結構上兩點的相對位移。這時，只要沿兩點連線，作用方向相反的一對單位力，然後用單位載荷法計算，即可求得相對位移。

超靜定問題

基本靜定系和相當系統

靜不定結構 (Statistically Indeterminate Structures)：結構的強度和剛度均得到提高，約束反力不能由平衡方程求得

靜不定度（次）數：約束反力多於獨立平衡方程的數

超靜定問題是綜合了靜力方程、變形協調方程(幾何方程)和物理方程等三方面的關係求解的。

超靜定結構：杆件的內力和外力不能完全由平衡方程解出的結構。

與靜定結構不同，超靜定結構的一些支座往往並不是維持幾何不變所必需的。解除剛架的支座，它仍然是幾何不變的結構。因此把這類約束稱為多餘約束。與多餘約束對應的約束力就稱為多餘約束力。

解除超靜定結構的某些約束後得到的靜定結構,稱為原超靜定結構的基本靜定系。

在基本靜定繫上，除原有載荷外，還應該用相應的多餘約束力代替被解除的多餘約束，有時把載荷和多餘約束力作用下的基本靜定系稱為相當系統。

用力法解超靜定結構

對於一次超靜定結構，解除多餘約束，用多餘約束力 \(X_{1}\) 代替，其作用點是 \(B\)。在載荷 \(F\) 與 \(X_{1}\) 聯 合作用下, 以 \(\Delta_{1}\) 表示 \(B\) 點沿 \(X_{1}\) 方向的位移。可以認為 \(\Delta_{1}\) 由兩部分組成, 一部分是基本靜定系在 \(F\) 單獨作用下引起的 \(\Delta_{1 F}\) , 另一部分 是在 \(X_{1}\) 單獨作用下引起的 \(\Delta_{1 X_{1}}\) 。這樣有

\[\Delta_{1}=\Delta_{1 F}+\Delta_{1 X_{1}} \]

因 \(B\) 點原有的約束, 它在 \(X_{1}\) 方向不應有任何位移,所以

\[\Delta_{1}=0 \]

這也就是變形協調方程。

在計算 \(\Delta_{1 X_{1}}\) 時, 可以在基本靜定繫上沿 \(X_{1}\) 方向作用單位力, \(B\) 點沿 \(X_{1}\) 方向因這一單位力引起的位移記為 \(\delta_{11}\) 。對線彈性結構

\[\Delta_{1 X_{1}}=\delta_{11} X_{1} \]

則有

\[\delta_{11} X_{1}+\Delta_{1 F}=0 \]

\(\Delta_{1 F}, \delta_{11}\) 都可以用莫爾積分求出，於是可以求得 \(X_{1}\)。

顯然, 可以把力法推廣到 \(n\) 次超靜定結構, 這時線性方程組為

\[\left.\begin{array}{c} \delta_{11} X_{1}+\delta_{12} X_{2}+\cdots+\delta_{1 n} X_{n}+\Delta_{1 F}=0 \\ \delta_{21} X_{1}+\delta_{22} X_{2}+\cdots+\delta_{2 n} X_{n}+\Delta_{2 F}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \delta_{n 1} X_{1}+\delta_{n 2} X_{2}+\cdots+\delta_{n n} X_{n}+\Delta_{n F}=0 \end{array}\right\} \]

\(\delta_{i j}\) 的量綱是位移比上力 . 根據位移互等定理, 存在以下關係:

\[\delta_{i j}=\delta_{j i} \]

力法得出的線性方程組都按照一定規範寫成標準形式, 一般稱為力法的正則方程或典型方程。

對稱及反對稱性質的利用

對稱結構上受對稱載荷作用時，對稱截面上，只有軸力和彎矩。

對稱結構上受反對稱載荷時，對稱截面上，只有剪力。

連續梁及三彎矩方程

連續跨過一系列中間支座的多跨梁, 稱為連續梁。採用下述記號: 從左到右把支座依次編號為 \(0,1,2, \cdots\), 把跨度依次編號為 \(l_{1}, l_{2}, l_{3}, \cdots\)。設所有支座在同一水平線上, 並無不同沉陷。且設只有支座 \(0\) 為固定鉸支座,其餘皆為可動鉸支座。

設想在每個中間支座的上方, 把梁切開並裝上鉸鏈, 這就相當於把這些截面上的彎矩作為多餘約束力, 並分別記為 \(X_{1} , X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots\) 。在任一支座上方, 兩側截面上的彎矩是大小相等、方向相反的一對力偶矩, 與其相應的位移是兩側截面的相對轉角。

支座 \(n\) 上方, 較鏈兩側截面的相對轉角為 \(\Delta_{n}\) , 且可將它寫成

\[\Delta_{n}=\delta_{n(n-1)} X_{n-1}+\delta_{n n} X_{n}+\delta_{n(n+1)} X_{n+1}+\Delta_{n F} \]

式中常數項和 3 個係數都可由莫爾積分來計算, 且 \(\Delta_{n}=0\).

動載荷

\[\sigma_{\mathrm{d}}=K_{\mathrm{d}} \sigma_{\mathrm{st}} \]

• \(\sigma_{\mathrm{d}}\)：動應力
• \(\sigma_{\mathrm{st}}\)：靜應力
• \(K_{\mathrm{d}}\)：動荷因數

動靜法

達朗貝爾原理 ：對做勻加速運動的質點系，如假想地在每一個質點上加上慣性力，則質點繫上的原力系與慣性力系組成平衡力系。(視為靜力學問題處理)

受衝擊時的應力

基本假設

1. 不計衝擊物的變形
2. 衝擊前後，衝擊物和杆件構成的系統機械能守恆
3. 構件材料服從胡克定律

衝擊過程中變形和應力的瞬時最大值，就是動應力。

能量守恆定律, 衝擊系統的動能和勢能的變化應等於應變能

\[\Delta T+\Delta V=V_{\mathrm{\varepsilon d}} \]

動載荷的功等於應變能

\[V_{\mathrm{\varepsilon d}}=\dfrac{1}{2} F_{\mathrm{d}} \Delta_{\mathrm{d}} \]

線彈性範圍內

\[F = k \Delta \]

這樣可以解出 \(F_{\mathrm{d}}\) 及對應的動應力。

疲勞

交變應力

應力隨時間週期變化

以 \(\sigma_{\max }\) 和 \(\sigma_{\min }\) 分別表示迴圈中的最大和最小應力, 比值

\[r=\dfrac{\sigma_{\min }}{\sigma_{\max }} \]

稱為交變應力的迴圈特徵或應力比。 \(\sigma_{\text {max }}\) 與 \(\sigma_{\min }\) 的代數和的二分之一稱為平均應力, 即

\[\sigma_{\mathrm{m}}=\dfrac{1}{2}\left(\sigma_{\max }+\sigma_{\min }\right) \]

\(\sigma_{\max }\) 與 \(\sigma_{\min }\) 代數差的二分之一稱為應力幅, 即

\[\sigma_{\mathrm{a}}=\dfrac{1}{2}\left(\sigma_{\max }-\sigma_{\text {min }}\right) \]

若交變應力的 \(\sigma_{\max }\) 和 \(\sigma_{\text {min }}\) 大小相等, 符號相反, 這種情況稱為對稱迴圈。

\[r=-1, \quad \sigma_{\mathrm{m}}=0, \quad \sigma_{\mathrm{a}}=\sigma_{\max } \]

各種應力迴圈中, 除對稱迴圈外, 其餘情況統稱為不對稱迴圈。

\[\sigma_{\max }=\sigma_{\mathrm{m}}+\sigma_{\mathrm{a}}, \quad \sigma_{\min }=\sigma_{\mathrm{mm}}-\sigma_{\mathrm{a}} \]

可見, 任一不對稱迴圈都可看成是在平均應力 \(\sigma_{\mathrm{m}}\) 上疊加一個幅度為 \(\sigma_{\mathrm{a}}\) 的對稱迴圈。

若應力迴圈中的 \(\sigma_{\min }=0\) 或 \(\sigma_{\max }=0\) , 表示交變應力變動於某一應力與零之間, 這種情況稱為脈動迴圈。

\[r=0, \quad \sigma_{\mathrm{a}}=\sigma_{\mathrm{m}}=\dfrac{1}{2} \sigma_{\max } \quad\left(\sigma_{\min }=0\right) \]

或

\[r=-\infty, \quad-\sigma_{\mathrm{a}}=\sigma_{\mathrm{m}}=\dfrac{1}{2} \sigma_{\min } \quad\left(\sigma_{\max }=0\right) \]

疲勞極限

疲勞失效： 構件在名義應力低於強度極限，甚至低於屈服極限的情況下，突然發生脆性斷裂的現象。(塑性材料在長期、反覆的交變應力作用下，發生疲勞失效前沒有明顯的塑性變形。)

對金屬疲勞的解釋一般認為，在足夠大的交變應力下，金屬中位置最不利或較弱的晶體，沿最大切應力作用面形成滑移帶，滑移帶開裂成為微觀裂紋。在構件外形突變(如圓角、切口、溝槽等)或表面刻痕或材料內部缺陷等部位，都可能因較大的應力集中而引起微觀裂紋。分散的微觀裂紋經過集結貫通，將形成宏觀裂紋。以上是裂紋的萌生過程。已形成的宏觀裂紋在交變應力下逐漸擴充套件。擴充套件是緩慢的而且並不連續，因應力水平的高低時而持續時而停滯。這就是裂紋的擴充套件過程。隨著裂紋的擴充套件，構件截面逐步削弱，當削弱到一定極限時，構件便發生突然斷裂。

金屬疲勞斷裂會形成光滑區和粗糙區。在裂紋擴充套件過程中，裂紋的兩個側面在交變載荷下，時而壓緊，時而分開，多次反覆，形成了斷口的光滑區。最後的突然斷裂形成斷口的粗糙區。

常溫下的試驗結果表明, 如鋼製試樣經歷 \(10^{7}\) 次迴圈仍末發生疲勞破壞, 則再增加迴圈次數, 也不會發生疲勞破壞。所以,就把在 \(10^{7}\) 次迴圈下仍末疲勞的最大應力, 規定為鋼材的疲勞極限, 而把 \(N_{0}=10^{7}\) 稱為迴圈基數。

對稱迴圈的疲勞極限記為 \(\sigma_{-1}\) , 下標 “\(- 1\)” 表示對稱迴圈的迴圈特徵為 \(r=-1\) 。

影響疲勞極限的因素

構件外形的影響

在對稱迴圈下, 若以 \(\left(\sigma_{-1}\right)_{\mathrm{d}}\) 或 \(\left(\boldsymbol{\tau}_{-1}\right)_{\mathrm{d}}\) 表示無應力集中的光滑試樣的疲勞極限; \(\left(\sigma_{-1}\right)_{k}\) 或 \(\left(\tau_{-1}\right)_{k}\) 表示有應力集中因素, 且尺寸與光滑試樣相同的試樣的疲勞極限,則比值

\[K_{\sigma}=\dfrac{\left(\sigma_{-1}\right)_{\mathrm{d}}}{\left(\sigma_{-1}\right)_{\mathrm{k}}} \text { (對於正應力) 或 } \quad K_{\tau}=\dfrac{\left(\tau_{-1}\right)_{\mathrm{d}}}{\left(\tau_{-1}\right)_{\mathrm{k}}} \text { (對於切應力) } \]

稱為有效應力集中因數。

構件尺寸的影響

在對稱迴圈下, 若光滑小試樣的疲勞極限為 \(\sigma_{-1}\) , 光滑大試樣的疲勞極限為 \(\left(\sigma_{-1}\right)_{\mathrm{d}}\) , 則比值

\[\varepsilon_{\sigma}=\dfrac{\left(\sigma_{-1}\right)_{d}}{\sigma_{-1}} \]

稱為尺寸因數, 其數值小於 1 。對扭轉, 尺寸因數為

\[\varepsilon_{\tau}=\dfrac{\left(\tau_{-1}\right)_{\mathrm{d}}}{\tau_{-1}} \]

構件表面質量的影響

若表面磨光的試樣的疲勞極限為 \(\left(\sigma_{-1}\right)_{\mathrm{d}}\) , 而表面為其他加工情況時構件的疲勞極限為 \(\left(\sigma_{-1}\right)_{\beta}\) , 則比值

\[\beta=\dfrac{\left(\sigma_{-1}\right)_{\beta}}{\left(\sigma_{-1}\right)_{d}} \]

稱為表面質量因數.

綜合上述三種因素, 在對稱迴圈下, 構件的疲勞極限應為

\[\sigma_{-1}^{0}=\dfrac{\varepsilon_{\sigma} \beta}{K_{\sigma}} \sigma_{-1} \]

式中 \(\sigma_{-1}\) 是光滑小試樣的持久極限。如為切應力可寫成

\[\tau_{-1}^{0}=\dfrac{\varepsilon_{\tau} \beta}{K_{\tau}} \tau_{-1} \]

對稱迴圈下, 構件的疲勞強度計算

對稱迴圈下, 實際構件的疲勞極限 \(\sigma_{-1}^{0}\) 。將 \(\sigma_{-1}^{0}\) 除以安全因數 \(n\) 得許用應力為

\[\left[{\sigma}_{-1}\right]=\dfrac{{\sigma}_{-1}^{0}}{n} \]

構件的強度條件應為

\[\sigma_{\max } \leqslant\left[\sigma_{-1}\right] \text { 或 } \sigma_{\max } \leqslant \dfrac{\sigma_{-1}^{0}}{n} \]

式中 \(\sigma_{\max }\) 是構件危險點的最大工作應力。

構件的工作安全因數 \(n_{\sigma}\)

\[n_{\sigma}=\dfrac{\sigma_{-1}^{0}}{\sigma_{\text {max }}} \]

於是強度條件可以寫成

\[n_{\sigma} \geqslant n \]

即構件的工作安全因數 \(n_{\sigma}\) 應大於或等於規定的安全因數 \(n_{\sigma}\)

可把工作安全因數 \(n_{\sigma}\) 和強度條件表示為

\[n_{\sigma}=\dfrac{\sigma_{-1}}{\dfrac{K_{\sigma}}{\varepsilon_{\sigma} \beta} \sigma_{\max }} \geqslant n \]

如為扭轉交變應力, 公式應寫成

\[n_{\tau}=\dfrac{\tau_{-1}}{\dfrac{K_{\tau}}{\varepsilon_{\tau} \beta} \tau_{\max }} \geqslant n \]

提高構件疲勞強度的措施

疲勞裂紋主要形成於構件表面和應力集中的部位。

1、減緩應力集中：構件外形設計上避免出現方形和帶尖角的孔和槽，對於截面突變處應採用半徑足夠大的過渡圓角。

2、降低表面粗糙度：對於疲勞強度要求較高的構件，應注意加工時降低表面粗糙度。構件使用過程中應儘量避免其表面受到機械損傷或化學損傷。

3、增加表面強度：透過熱處理、化學處理或機械法的方式強化構件表層，提高構件疲勞強度。

壓桿穩定

細長杆件受壓時，壓彎。

壓桿喪失其直線形狀的平衡而過渡為曲線平衡, 稱為喪失穩定性, 簡稱失穩, 也稱為屈曲。壓力的極限值稱為臨界壓力或臨界力, 記為 \(F_{\mathrm{cr}}\) 。

支座條件下細長壓桿的臨界壓力

兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力

\[F_{\mathrm {cr }}=\dfrac{\pi^{2} E I}{l^{2}} \]

尤拉公式

\[F_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^{2} E I}{(\mu l)^{2}} \]

• \(\mu l\) 表示把壓桿折算成兩端較支桿的長度, 稱為相當長度
• \(\mu\) 稱為長度因數

尤拉公式的適用範圍 經驗公式

臨界壓力對應的應力

\[\sigma_{\mathrm{cr}}=\dfrac{F_{\mathrm{cr}}}{A} \]

定義慣性半徑 \(i\)

\[I=i^{2} A \]

定義柔度或長細比 \(\lambda\)

\[\lambda=\dfrac{\mu l}{i} \]

則有

\[\sigma_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}} \]

只有臨界應力小於比例極限 \(\sigma_{\mathrm{p}}\) 時, 尤拉公式才適用

\[\dfrac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}} \leqslant \sigma_{\mathrm{p}} \quad \text { 或 } \quad \lambda \geqslant \pi \sqrt{\dfrac{E}{\sigma_{\mathrm{p}}}} = \lambda_{\mathrm{p}} \]

若壓桿的柔度 \(\lambda\) 小於 \(\lambda_{\mathrm{p}}\) , 有兩種經驗公式

直線公式

\[\sigma_{\mathrm{cr}}=a-b \lambda \]

拋物線公式

\[\sigma_{\mathrm{cr}}=a_{1}-b_{1} \lambda^{2} \]

壓桿的穩定性校核

工作安全因數應大於規定的穩定安全因數

\[n=\dfrac{F_{\mathrm{cr}}}{F} \geqslant n_{\mathrm{st}} \]

提高壓桿穩定性的措施

1. 選擇合理的截面形狀，截面的慣性矩越大，或慣性半徑越大，穩定性越好
2. 改變壓桿的約束條件
3. 合理選擇材料