RQNOJ 311 [NOIP2000]乘積最大：劃分型dp

題目連結：https://www.rqnoj.cn/problem/311

題意：

　　給你一個長度為n的數字，用t個乘號分開，問你分開後乘積最大為多少。(6<=n<=40，1<=k<=30)

 

題解：

　　簡化問題：

　　　　給原數字之前新增一個"1 *"，乘號不計入數量，對答案無影響。

　　　　例如："1231"可以變成"(1*)1231"。

 

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = max num（最後一個乘號之前的最大乘積）

　　　　i：此時在第i個數的前面添了一個乘號

　　　　j：用了j個乘號

　　　　例1："(1*)12*31"：

　　　　　　dp[2][1] = 12　（數位從0開始從左向右編號）

　　　　例2："(1*)12*3*1"

　　　　　　dp[3][2] = 12*3 = 36

 

　　找出答案：

　　　　max dp[i][t] * cal_sec(i,n-1)

　　　　cal_sec(x,y)將數字串中[x,y]這個區間的字串轉化為數字

　　　　例如：設n=4,t=1.

　　　　　　　此時為"(1*)12*31"

　　　　　　　則此時這種方案的乘積為dp[2][1]* "31" = 12*31

 

　　如何轉移：

　　　　dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)

　　　　在前面的某一段乘積後面再續上一串數字，達到第i位，用了j個乘號。

　　　　前面的某一段乘積：列舉最後一個乘號在第k個數字之前，用了j-1個乘號。

　　　　要續的數字：從第k位到i-1位 = cal_sec(k,i-1)

 

　　邊界條件：

　　　　初始時用了0個乘號，但乘積為1。

　　　　例如："(1*)1231".

　　　　特判：如果輸入的數字就是0，則直接返回0.

 

　　注：輸入用string，答案用long long存。

　　　　資料水。。。否則高精。。。

 

AC Code:

// state expression:
// dp[i][j] = max num
// i: last '*' is in front of ith bit
// j: used j '*'
//
// find the answer:
// max dp[i][t] * cal_sec(i,len-1)
//
// transferring:
// dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)
//
// boundary:
// if input == 0: return 0
// else dp[0] = 1, others = -1
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 45
#define MAX_K 35

using namespace std;

int n,t;
long long ans;
long long dp[MAX_N][MAX_K];
long long sec[MAX_N][MAX_N];
string s;

void read()
{
    cin>>n>>t>>s;
}

long long cal_sec(int x,int y)
{
    if(sec[x][y]!=-1) return sec[x][y];
    long long res=0;
    for(int i=x;i<=y;i++)
    {
        res=res*10+s[i]-'0';
    }
    return sec[x][y]=res;
}

void solve()
{
    memset(sec,-1,sizeof(sec));
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=t && j<=i;j++)
        {
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                if(dp[k][j-1]!=-1)
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*cal_sec(k,i-1));
                }
            }
        }
    }
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(dp[i][t]!=-1) ans=max(ans,dp[i][t]*cal_sec(i,n-1));
    }
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}