HDU 4372 Count the Buildings：第一類Stirling數

題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4372

題意：

　　有n棟高樓橫著排成一排，各自的高度為1到n的一個排列。

　　從左邊看可以看到f棟樓，從右邊看可以看到b棟樓，並且高的樓會擋住低的樓。

　　問你這些樓有多少種排列方法。

 

題解：

　　由於高的樓會擋住低的樓，所以這些樓首先會被劃分成f+b-2個區域（除去中間最高的樓），並且左邊有f-1個，右邊有b-1個。

　　

　　對於一個區域（假設在左邊），這個區域由若干棟樓組成，並且最高的樓一定在最左邊。

　　那麼，由一個區域中的元素組成的任意一個環排列，在這個區域中都有唯一的放法，因為要把最高的元素拉到最左邊。

　　

　　所以，原題被簡化為：將n-1個元素形成f+b-2個環排列，並將其中f-1個環放在左邊的方法數。

　　又是第一類Stirling數。

　　· 將n-1個元素形成f+b-2個環排列的方法數 = S(n-1,f+b-2)

　　· 將其中f-1個環放在左邊的方法數 = C(f+b-2,f-1)

　　所以答案為：S(n-1,f+b-2)*C(f+b-2,f-1)

 

　　注：此題有不合法資料，要判斷一下是否f+b-1>n，如果是，輸出0（不合法）。

 

AC Code:

// n: tot    f: lef    b: rig
// lef group = f-1
// rig group = b-1
// elem num = n-1
// circle num = f+b-2
// ans = s(n-1, f+b-2) * c(f+b-2, f-1)
// s(n,k) = s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 2005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n,f,b,t;
long long s[MAX_N][MAX_N];
long long c[MAX_N][MAX_N];

void cal_stirling()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        s[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j])%MOD;
        }
    }
}

void cal_combination()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;
        }
    }
}

int main()
{
    cal_stirling();
    cal_combination();
    cin>>t;
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        cin>>n>>f>>b;
        if(f+b-1<=n) cout<<(s[n-1][f+b-2]*c[f+b-2][f-1])%MOD<<endl;
        else cout<<0<<endl;
    }
}