HDU 3625 Examining the Rooms：第一類Stirling數

題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625

題意：

　　有n個房間，每個房間裡放著一把鑰匙，對應能開1到n號房間的門。

　　除了1號門，你可以踹開任意一扇門（不用鑰匙），但你最多隻能踹k次。

　　問你能將所有門開啟的概率。

 

題解：

　　· P(開啟所有門) = 能開啟所有門的鑰匙放置情況數 / 鑰匙放置的總情況數

　　· 鑰匙放置的總情況數 = n!

　　

　　那麼考慮下能開啟所有門的鑰匙放置情況數。。。

　　由於每個房間裡有且只有一把鑰匙，所以如果將每個房間連向房間內鑰匙對應的房間，會得到一個有向圖，並且由若干個獨立的環組成。

　　

　　所以，只要將一個環內的任意一扇門踹開，就能開啟這個環上的所有房間。

　　如果不考慮1號門，那麼要算的就是n個元素組成1~k個環排列的情況數。

　　第一類Stirling數的定義啊！

　　遞推式：s(n,k) = s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)

　　

　　So...

　　· 能開啟所有門的鑰匙放置情況數 = ∑S(n,i)　(1<=i<=k)

　　

　　考慮到1號門不能踹，也就是1不能獨立成環，它的情況數就等於用剩下n-1的元素組成i-1個環的情況數。

　　· 能開啟所有門的鑰匙放置情況數 = ∑( S(n,i)-S(n-1,i-1) )

 

　　所以答案為：∑( S(n,i)-S(n-1,i-1) ) / n!　　(1<=i<=k)

 

AC Code:

// s(n,k) = s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)
// s(n,0) = 0    s(n,n) = 1
// P = sigma(s[n][i]-s[n-1][i-1])/fact(n)    1<=i<=k

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 25
#define MAX_K 25

using namespace std;

int n,k,t;
long long sum;
long long s[MAX_N][MAX_K];
long long fact[MAX_N];

void stirling()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        s[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];
        }
    }
}

void cal_fact()
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        fact[i]=fact[i-1]*i;
    }
}

int main()
{
    stirling();
    cal_fact();
    cin>>t;
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        cin>>n>>k;
        sum=0;
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            sum+=s[n][i]-s[n-1][i-1];
        }
        printf("%.4f\n",(double)sum/fact[n]);
    }
}