Codeforces 938E Max History：排列 + 逆元【考慮單個元素的貢獻】

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/938/E

題意：

　　定義f(a):

　　　　初始時f(a) = 0, M = 1。

　　　　列舉i = 2 to n，如果a[i] > a[M]，那麼f(a) += a[M], M = i。

　　給定長度為n的陣列a，問你它的所有排列的f(a)之和 MOD 1e9+7。

 

題解：

　　對於某個確定排列中的一個數a[i]，如果所有大於等於a[i]的數都排在a[i]之後，那麼一定ans += a[i]。

　　所以就要求每個a[i]對於答案的貢獻，相加起來即為總答案。

 

　　先將a[i]升序排列。

　　考慮由所有n個陣列成的排列：

　　　　總排列數為n!。

　　僅考慮由大於等於a[i]的陣列成的排列：

　　　　大於等於a[i]的數共有n-i+1個。

　　　　總排列數為(n-i+1)!。

　　　　其中a[i]排在最前面的排列有(n-i)!個。

　　所以由n個陣列成，且所有大於等於a[i]的數都排在a[i]之後

　　這樣的排列的總數為(n-i)! / (n-i+1)! * n!個。

　　化簡即為n!/(n-i+1)個。

　　所以a[i]對答案作出的貢獻為：n! / (n-i+1) * a[i]。

 

　　所以對於區間[i,nex)，如果a[i to nex-1]都相等的話

　　這個區間對答案做出的總貢獻即為：n! / (n-i+1) * a[i] * (nex-i)

 

　　特別地，如果有a[i] == a[n]，顯然它對答案的貢獻為0。

　　另外，對於貢獻中的除以(n-i+1)，應該寫成乘inv(n-i+1)。

　　最後O(n)統計一下就好。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define MAX_N 1000005
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int a[MAX_N];
long long ans=0;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1; y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}

int inv(int a)
{
    int x,y;
    exgcd(a,MOD,x,y);
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    long long f=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) f=f*i%MOD;
    sort(a+1,a+1+n);
    int nex=1;
    for(int i=1;i<=n;i=nex)
    {
        if(a[i]==a[n]) break;
        while(nex<=n && a[i]==a[nex]) nex++;
        ans=(ans+f*inv(n-i+1)%MOD*a[i]%MOD*(nex-i)%MOD)%MOD;
    }
    cout<<ans<<endl;
}