Codeforces 869C The Intriguing Obsession：組合數 or dp

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/869/C

題意：

　　紅色、藍色、紫色的小島分別有a,b,c個。

　　你可以在兩個不同的島之間架橋，橋的長度為1。

　　任意兩個顏色相同的島之間的距離不能小於3。

　　問你合法的架橋方案數。

 

題解：

　　顯然只能在不同顏色的島之間連邊。

　　而且一個島對於一種顏色，最多隻能連一個島。

　　設f(x,y)表示兩種顏色的島相互連邊，分別有x,y個，連邊的方案數。(x < y)

　　那麼ans = f(a,b) * f(b,c) * f(a,c)

 

　　解法1（組合數）：

　　　　列舉共連了k條邊，k∈[1,x]。

　　　　那麼連了k條邊的方案數 = C(x,k) * C(y,k) * k!

　　　　總方案數f(x,y) = ∑(C(x,k) * C(y,k) * k!)

 

　　解法2（dp）：

　　　　向其中A集合中加入一個島，要麼不連邊，要麼根B集合中的任意一個點連邊（共j種方案）。

　　　　f(i,j) = f(i-1,j) + f(i-1,j-1)*j

 

AC Code(combination):

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 5005
#define MOD 998244353

using namespace std;

int mx=0;
int a[3];
long long f[MAX_N];
long long c[MAX_N][MAX_N];
long long ans=1;

void cal_f()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=mx;i++) f[i]=f[i-1]*i%MOD;
}

void cal_c()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
        }
    }
}

int main()
{
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        cin>>a[i];
        mx=max(mx,a[i]);
    }
    cal_f();
    cal_c();
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<3;j++)
        {
            int x=min(a[i],a[j]);
            int y=max(a[i],a[j]);
            int sum=0;
            for(int k=0;k<=x;k++)
            {
                sum=(sum+c[x][k]*c[y][k]%MOD*f[k])%MOD;
            }
            ans=ans*sum%MOD;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

 

 

AC Code(dp):

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 5005
#define MOD 998244353

using namespace std;

int a,b,c;
long long dp[MAX_N][MAX_N];

int main()
{
    cin>>a>>b>>c;
    int mx=max(a,max(b,c));
    for(int i=0;i<=mx;i++)
    {
        dp[i][0]=dp[0][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        for(int j=1;j<=mx;j++)
        {
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*j)%MOD;
        }
    }
    cout<<dp[a][b]*dp[b][c]%MOD*dp[a][c]%MOD<<endl;
}