概述
嗯……揹包問題是什麼？
揹包問題，是動態規劃問題中的典型的一類。顧名思義，是跟揹包有關的問題（竟然和名字有關，爺青結）。
大概就是講揹包空間有限，怎樣合理地裝物品可以讓總價值最高的問題。
其實也不是非常難。
本文講哪幾類？
揹包問題的主要難點也就在於種類繁多，需要記憶各種遞推公式、迴圈結構。
不過畢竟是記憶而已，總是比其他需要現場推倒遞推公式的要好不少。
本文主要講以下幾類：
01揹包問題
完全揹包問題（目前只講前兩種，後面的以後慢慢更新，畢竟所有揹包都是以這兩種為基礎的）（後面的題目已經寫好，以後講解）
多重揹包問題
二維費用揹包問題
分組揹包問題
01揹包問題
題目
題目描述
一個旅行者有一個最多能裝 MM 公斤的揹包，現在有 nn 件物品，它們的重量分別是W1，W2，...,WnW1，W2，...,Wn,它們的價值分別為C1,C2,...,CnC1,C2,...,Cn，求旅行者能獲得最大總價值。
輸入
第一行：兩個整數，MM(揹包容量，M≤200M≤200)和NN(物品數量，N≤30N≤30)；
第2..N+12..N+1行：每行二個整數Wi，CiWi，Ci，表示每個物品的重量和價值。
輸出
僅一行，一個數，表示最大總價值。
輸入樣例
10 4 2 1 3 3 4 5 7 9
輸出樣例
12
講解
既然要用用動態規劃法解決0-1揹包問題，我們就先定義動態規劃的三個要點，即狀態、狀態轉移方程和邊界條件。
首先我們用子問題定義狀態，我們用F(i,j)表示“把前i件物品放入容量為j的揹包中的最大總重量”。
然後我們要考慮怎樣的狀態轉移方程可以把這個問題轉化為更小的子問題。我們依然以“每一個物品都有放或不放兩種選擇”的策略為基礎，考慮第i件物品，如果我們選擇不放第i件物品，那麼問題就直接轉化為“把前i-1件物品放入容量為j的揹包中的最大總重量”，如果我們選擇放第i件物品，那麼問題就轉化為“把前i-1件物品放入容量為j-V[i]的揹包中的最大總重量加上第i件物品的重量”（這裡值得注意的一點是，如果j-V[i]<0，即放入第i件物品後超過了揹包容量的限制，那麼我們就只能選擇不放第i件物品了）。所以狀態轉移方程為F(i,j)=max{F(i-1,j),F(i-1,j-V[i])+W[i]}。
邊界條件則很容易得到，i=0時F(i,j)為0（沒有物品就沒有重量），j<0時F(i,j)為負無窮（但在程式碼中並不會這樣初始化，我們在j-V[i]<0時不計算第二種情況即可）。最終答案則是f(n,C)。
但其實這個空間複雜度是可以優化的。
可以直接用f[i]來表示當重量為i時，可以有的最大價值。
狀態轉移方程：
f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i])
到了這裡，終於要講迴圈順序的問題了。
其實第二層迴圈為什麼要反向的問題，我也研究了好久，終於在看一篇文章的時候恍然大悟。
根據題意，每種物品只有一件。
當我們迴圈的時候，如果正序，那自然就會從前到後的更新陣列。
那如果揹包容量大於某件物品的多倍呢？
而恰好這件物品價效比很高？
假設a是一個常數。這件物品的質量為w。
那麼，比如說，我們在迴圈到i=a的時候，把這件物品裝進了揹包。
那再迴圈到i=a+w的時候，可能又會把這件物品裝進揹包。
也就是說，這件物品被使用了兩次，甚至後面可能更多。
而根據題意，每件物品只有一個。
而對於每一次更新，只會用到i比當前小的資料，而不會用到i比當前大的。（因為要檢視f[i-w[j]],w[j]不可能是負的）
所以，先把大的更新了是沒有問題的。
（學了揹包問題這麼久，終於把這個問題解決了！！！開心！！！）
核心程式碼：
#include <iostream> #include <cstdio> #define M 1000 using namespace std; int f[M], c[M], w[M]; int ans, v, m; int main() { scanf("%d%d", &v, &m); for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &c[i], &w[i]); } for(int i = 1; i <= m; i++) { for(int j = v; j >= c[i]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]); } } printf("%d\n", f[v]); return 0; }
完全揹包問題
題目
題目描述
設有nn種物品，每種物品有一個重量及一個價值。但每種物品的數量是無限的，同時有一個揹包，最大載重量為MM，今從nn種物品中選取若干件(同一種物品可以多次選取)，使其重量的和小於等於MM，而價值的和為最大。
輸入
第一行：兩個整數，MM(揹包容量，M≤200M≤200)和NN(物品數量，N≤30N≤30)；
第2..N+12..N+1行：每行二個整數Wi,CiWi,Ci，表示每個物品的重量和價值。
輸出
僅一行，一個數，表示最大總價值。
輸入樣例
10 4 2 1 3 3 4 5 7 9
輸出樣例
max=12
講解
那麼，既然剛才講了01揹包因為每種物品只有一個所以只能逆序迴圈，完全揹包問題自然就是把迴圈順序改為順序就可以了！
——就這？就這？就這？
——對，就這。
——啊這，淚目
[doge]
核心程式碼
#include <iostream> #include <cstdio> #define M 1000 using namespace std; int f[M], c[M], w[M]; int ans, v, m; int main() { scanf("%d%d", &v, &m); for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &c[i], &w[i]); } for(int i = 1; i <= m; i++) { for(int j = c[i]; j <= v; j++) { f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]); } } printf("max=%d\n", f[v]); return 0; }
多重揹包問題
題目
題目描述
為了慶賀班級在校運動會上取得全校第一名成績，班主任決定開一場慶功會，為此撥款購買獎品犒勞運動員。期望撥款金額能購買最大價值的獎品，可以補充他們的精力和體力。
輸入
第一行二個數n(n≤500)，m(m≤6000)，其中n代表希望購買的獎品的種數，m表示撥款金額。
接下來n行，每行3個數，v、w、s，分別表示第I種獎品的價格、價值（價格與價值是不同的概念）和能購買的最大數量（買0件到s件均可），其中v≤100，w≤1000，s≤10。
輸出
一行：一個數，表示此次購買能獲得的最大的價值（注意！不是價格）。
輸入樣例
5 1000 80 20 4 40 50 9 30 50 7 40 30 6 20 20 1
輸出樣例
1040
講解
其實多重揹包問題，雖然一個物品有了好幾個，但是仍然可以按照01揹包問題的思路，每個物品能取幾件就儲存幾次就好了（當做不同的物品）
核心程式碼
#include <bits/stdc++.h> #define M 1000 using namespace std; int f[M], c[M], w[M],num[M]; int ans, v, m; int main() { scanf("%d%d", &v, &m); for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d%d", &c[i], &w[i],&num[i]); } int jjc=m; for (int i = 1; i <= m; ++i) { for (int j = 1; j <= num[i]; ++j) { c[jjc]=c[i]; w[jjc]=w[i]; jjc++; } } for(int i = 1; i <= m; i++) { for(int j = c[i]; j <= v; j++) { f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]); } } printf("max=%d\n", f[v]); return 0; }
二維費用揹包問題
題目描述
寵物小精靈是一部講述小智和他的搭檔皮卡丘一起冒險的故事。
一天，小智和皮卡丘來到了小精靈狩獵場，裡面有很多珍貴的野生寵物小精靈。小智也想收服其中的一些小精靈。然而，野生的小精靈並不那麼容易被收服。對於每一個野生小精靈而言，小智可能需要使用很多個精靈球才能收服它，而在收服過程中，野生小精靈也會對皮卡丘造成一定的傷害（從而減少皮卡丘的體力）。當皮卡丘的體力小於等於0時，小智就必須結束狩獵（因為他需要給皮卡丘療傷），而使得皮卡丘體力小於等於0的野生小精靈也不會被小智收服。當小智的精靈球用完時，狩獵也宣告結束。
我們假設小智遇到野生小精靈時有兩個選擇：收服它，或者離開它。如果小智選擇了收服，那麼一定會扔出能夠收服該小精靈的精靈球，而皮卡丘也一定會受到相應的傷害；如果選擇離開它，那麼小智不會損失精靈球，皮卡丘也不會損失體力。
小智的目標有兩個：主要目標是收服儘可能多的野生小精靈；如果可以收服的小精靈數量一樣，小智希望皮卡丘受到的傷害越小（剩餘體力越大），因為他們還要繼續冒險。
現在已知小智的精靈球數量和皮卡丘的初始體力，已知每一個小精靈需要的用於收服的精靈球數目和它在被收服過程中會對皮卡丘造成的傷害數目。請問，小智該如何選擇收服哪些小精靈以達到他的目標呢？
輸入
輸入資料的第一行包含三個整數：N(0<N<1000)，M(0<M<500)，K(0<K<100)，分別代表小智的精靈球數量、皮卡丘初始的體力值、野生小精靈的數量。
之後的K行，每一行代表一個野生小精靈，包括兩個整數：收服該小精靈需要的精靈球的數量，以及收服過程中對皮卡丘造成的傷害。
輸出
輸出為一行，包含兩個整數：C，R，分別表示最多收服C個小精靈，以及收服C個小精靈時皮卡丘的剩餘體力值最多為R。
輸入樣例#01
10 100 5 7 10 2 40 2 50 1 20 4 20
輸出樣例#01
3 30
輸入樣例#02
10 100 5 8 110 12 10 20 10 5 200 1 110
輸出樣例#02
0 100
提示
對於樣例輸入1：小智選擇：(7,10) (2,40) (1,20) 這樣小智一共收服了3個小精靈，皮卡丘受到了70點傷害，剩餘100-70=30點體力。所以輸出3 30。對於樣例輸入2：小智一個小精靈都沒法收服，皮卡丘也不會收到任何傷害，所以輸出0 100。
分組揹包問題
題目
題目描述
一個旅行者有一個最多能裝V公斤的揹包，現在有n件物品，它們的重量分別是W1，W2，...,WnW1，W2，...,Wn，它們的價值分別為C1,C2,...,CnC1,C2,...,Cn。這些物品被劃分為若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
輸入
第一行：三個整數，V(揹包容量，V≤200)，N(物品數量，N≤30)和T(最大組號，T≤10)；
第2..N+1行：每行三個整數Wi,Ci,PWi,Ci,P，表示每個物品的重量，價值，所屬組號。
輸出
僅一行，一個數，表示最大總價值。
輸入樣例
10 6 3 2 1 1 3 3 1 4 8 2 6 9 2 2 8 3 3 9 3
輸出樣例
20