用 PHP 在力扣刷演算法 [尋找兩個正序陣列的中位數]{有空就更}

題目：題目：

給定兩個大小為 m 和 n 的正序（從小到大）陣列 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個正序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 O(log(m + n))。

你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

則中位數是 2.0
示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

解析：

1，看到這個題的瞬間，先不考慮題目中的時間和空間的複雜度，我用PHP的 array_merge()一下這兩個陣列，然後在sort() 一下，在 count() 一下，計算出中位數的下標，就得到了。當然，這肯定不符合題意的。又回到題目，我要求時間和空間複查度都要要小於log級別，看到這三個單詞，我想到了二分天下中，這就是標準的時間空間的級別，那麼，現在的問題是怎麼二分？

首先：1，兩個有序陣列找中位數，必然中位數在其中一個有序陣列中，並且在這個陣列中存在這樣的關係：陣列中位數的左邊的所有值肯定都小於右邊的所有值。

其次：2，既然這個中位數是這兩個有序陣列的中位數，那如果合併兩個陣列後，比中位數小的或等於元素個數加比中位數大的元素個數必然等於兩個陣列的總數，反過來說，不合並也是存在這個等式的

再其次：3，根據第一個分析，不管兩個有序陣列怎麼樣，比中位數小的在左邊，其中一個陣列的比中位數小的所有元素中的最大元素必定比另一個有序陣列比中位數大的元素小，反過來也必須成立。

最後：4，我們對其中一個陣列進行二分，那必然滿足 2 的規則。

注意：計算中位數時，要判斷兩個陣列的總長度，奇數是剛好中間的元素，偶數是中間兩個元素的和處以2

## 分析那麼多，不如看程式碼：

function findMedianSortedArrays($nums1, $nums2) {
        // 統計兩個陣列長度
        $len1 = count($nums1);
        $len2 = count($nums2);
        // 既然二分任何一個有序陣列都可以，那麼就選 個數小的那個進行二分, 如果傳參的第一個陣列大於第二個，遞迴一下
        if ($len1 > $len2) {
            $this->findMedianSortedArrays($nums2, $nums1);
        }
        // 再判斷 $nums1 陣列長度是否為 0 ，如果是零，則就是查詢 $nums2 的中位數，那麼就簡單了三
        if ($len1 == 0) {
            // 一個有序陣列 不管是奇數還是偶數，這個寫法都能準確找到中位數，這個就不解釋了，可以自己試試
            return ($nums2[floor($len2 / 2)] + $nums2[floor(($len2 - 1) / 2)]) / 2;
        }

        // 開始分割查詢:

        // 統計一下兩個陣列的總長度
        $len = $len1 + $len2;

        //  對 $nums1 進行切得 下標
        $slice1 = 0;
        // 根據解析 中第二條能推匯出 $nums2 得切點，但是還是要預存一下
        $slice2 = 0;
        // $nums1 的切割區間 左 和 右 
        $sliceL = 0;
        $sliceR = $len1;
        // 接下來就是在迴圈找找出 中位數了
        // 只要切點 不大於 長度，那麼就是成立的
        while ($slice1 <= $len1) {
            // 剛進來時 先對 小的陣列進行二分   ($sliceL + $sliceR)/2 和 ($sliceR - $sliceL) / 2 + $sliceL 在數學上是一樣的，但是第二種可以防止記憶體溢位 
            $slice1  = floor($sliceR - $sliceL) / 2 + $sliceL;
            // 得到小陣列的切點，那麼大陣列的二分切點也知道了，因為滿足上面分析的第二條
            // 簡單證明一下，第一個切點等式：2*$slice1 = $sliceR - $sliceL 
            // $len = $len1 + $len2 
            // 根據二分 $len2 = 2 * $slice2
            // 替換一下上面的等式 $len = 2 * $slice1 + 2 * $slice2
            // 得到下面的等式
            $slice2 = floor($len/2) - $slice1;
            // 計算 $nums1 被分過後小的半段的最大元素，比如陣列 [1, 3, 4, 6, 8, 13] 中分後為 [[1, 3, 4] 和   [6, 8, 13] 
            // 根據不斷的移動切點 有可能切點在 開始位置 ，當為開始位置時，要找一個肯定小的標記，這裡用 PHP 的系統常量，否則就是切點的前一個
            $l1 = ($slice1 == 0) ? PHP_INT_MIN :$nums1[$slice1 - 1];
            $l2 = ($slice2 == 0) ? PHP_INT_MIN :$nums2[$slice2 - 1];
             // 同理，計算陣列大的半段的最小元素 也存在一個當切點是陣列長度時 
            $r1 = ($slice1 == $len1) ? PHP_INT_MAX : $nums1[$slice1];
            $r2 = ($slice2 == $len2) ? PHP_INT_MAX : $nums2[$slice2];
            // 根據解析 第三條 其中一個陣列的比中位數小的所有元素中的最大元素 必定比另一個有序陣列比中位數大的元素小 
            if ($l1 > $r2) {
                // 如果大了 則不是中位數 要向左移動切點，找前一個值，本體的二分就體現在這裡，大了，則後面的全部值都大了，直接不進入計算了
                $cutR = $slice1 - 1;
            // 同理 $nums2 切割後 所有小的元素中的最大值也 必須小於 $nums1 切割後 所有大元素的最小值。
            } elseif ($l2 > $r1) {
                // 直接拋棄切點的前半段，在二分
                $cutL = $slice1 + 1;
            // 當上面的 兩個都滿足，則找到了本題的中位數了，
            } else {
                // 偶數時，中位數時 小的所有元素的最大值和大的所有元素的最小值相加除2
                if ($len % 2 ==0) {
                    $l1 = $l1 > $l2 ? $l1 : $l2;
                    $r1 = $r1 < $r2 ? $r1 : $r2;
                    return ($l1 + $r1) / 2;
                }
                // 奇數時，所有大元素的最小值
                return min($r1, $r2);
            }
        }

本題確實有難，需要時間推理和證明…

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