【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(08)C#進行數值積分

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前言

　　在數值計算的需求中，數值積分也是比較常見的一個。我們也知道像Matlab，Mathematics等軟體的積分求解功能非常高大上，不僅能求解定積分，還能求解不定積分，甚至多重積分等等。而Math.NET這個元件沒有如此高階的功能，目前也只提供了比較件的閉區間上的定積分求解功能。今天就一起來看看，因為不定積分涉及到符號計算，因此其背後的原理和實現要複雜得多。就連Matlab這種軟體暫時也不支援混編程式設計求解符號計算相關的功能。

　　如果本文資源或者顯示有問題，請參考 本文原文地址：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4301017.html 

1.定積分

　　很多人可能已經淡忘了定積分的概念，當然需要用到的朋友看到這裡，也基本不用看本段的內容，比較簡單，高等數學已經是10多年前學過的東西了，雖然以前很精通，現在也只能憑印象理解和網路來對這個概念稍微進行整理，可能有些不完整或小錯誤，還請諒解。

　　數學定義：如果函式f(x)在區間[a,b]上連續，用分點xi將區間[a,b]分為n 個小區間，在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，當n趨於無窮大時，上述和式無限趨近於某個常數A，這個常數叫做y=f(x) 在區間上的定積分. 記作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 這裡，a 與 b叫做積分下限與積分上限，區間[a,b] 叫做積分割槽間，函式f(x) 叫做被積函式，x 叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積式。

　　幾何定義：可以理解為在 Oxy座標平面上，由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

詳細的可以參考以下連結：

        定積分的計算公式和性質：http://www.shuxuecheng.com/gaosuzk/content/lljx/wzja/5/5-2.htm

2.Math.NET關於定積分的實現

 　　Math.NET中對定積分的實現都在MathNet.Numerics.Integration名稱空間以及Integrate.cs中,Integrate靜態類其實是對Integration名稱空間下幾個近似積分方法的實現。Math.NET定積分的近似求解主要是用到了“梯形法則”，詳細的內容可以參考以下：連結，其原理非常簡單。這裡我們只介紹經常用到的Integrate靜態類的實現，很簡單，其他內部實現過程可以查原始碼：

using System;
using MathNet.Numerics.Integration;

namespace MathNet.Numerics
{
    /// <summary>
    /// 數值積分類
    /// </summary>
    public static class Integrate
    {
        /// <summary>      
        /// 近似解析光滑函式在閉區間上的定積分
        /// </summary>
        /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
        /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
        /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
        /// <param name="targetAbsoluteError">The expected relative accuracy of the approximation.</param>
        /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
        public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd, double targetAbsoluteError)
        {
            return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, targetAbsoluteError);
        }

        /// <summary>   
        ///  近似解析光滑函式在閉區間上的定積分
        /// </summary>
        /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
        /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
        /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
        /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
        public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd)
        {
            return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, 1e-8);
        }
    }
}

　　下面的例子就是直接呼叫該類進行的。　　

3.C#使用Math.NET求解定積分的例子

 　　使用比較簡單，直接看原始碼：

// 1. Integrate x*x on interval [0, 10]
Console.WriteLine(@"1.函式 x*x 在閉區間 [0, 10] 上的積分");
var result = Integrate.OnClosedInterval(x => x * x, 0, 10);
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine();

// 2. Integrate 1/(x^3 + 1) on interval [0, 1]
Console.WriteLine(@"2.函式 1/(x^3 + 1) 在閉區間 [0, 1] 上的積分");
result = Integrate.OnClosedInterval(x => 1 / (Math.Pow(x, 3) + 1), 0, 1);
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine();

// 3. Integrate f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) on [0, 10]
Console.WriteLine(@"3.函式 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的積分");
result = Integrate.OnClosedInterval(x => Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x)), 0, 100);
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine();

// 4. Integrate target function with absolute error = 1E-4
Console.WriteLine(@"4. 對目標函式進行積分，絕對誤差= 1E-4 ,區間 [0, 10]");
Console.WriteLine(@"public static double TargetFunctionA(double x)
{
return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}");
result = Integrate.OnClosedInterval(TargetFunctionA, 0, 100, 1e-4);
Console.WriteLine(result);
Console.WriteLine();

引數主要有3個：函式，積分下限，積分上限，其他的就是附帶一個絕對誤差了，看看執行結果：

1.函式 x*x 在閉區間 [0, 10] 上的積分
333.333333333332

2.函式 1/(x^3 + 1) 在閉區間 [0, 1] 上的積分
0.835648848264702

3.函式 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的積分
10.4950494839272

4. 對目標函式進行積分，絕對誤差= 1E-4 ,區間 [0, 10]
public static double TargetFunctionA(double x)
{
    return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}
10.4950494839276

4.資源

　　原始碼下載：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html

　　如果本文資源或者顯示有問題，請參考 本文原文地址：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4301017.html