奇異值分解(Singular Value Decomposition，以下簡稱SVD)是在機器學習領域廣泛應用的演算法，它不光可以用於降維演算法中的特徵分解，還可以用於推薦系統，以及自然語言處理等領域。是很多機器學習演算法的基石。本文就對SVD的原理做一個總結，並討論在在PCA降維演算法中是如何運用運用SVD的。
1. 回顧特徵值和特徵向量
我們首先回顧下特徵值和特徵向量的定義如下：$$Ax=\lambda x$$
其中A是一個$n \times n$的矩陣，$x$是一個$n$維向量，則我們說$\lambda$是矩陣A的一個特徵值，而$x$是矩陣A的特徵值$\lambda$所對應的特徵向量。
求出特徵值和特徵向量有什麼好處呢？ 就是我們可以將矩陣A特徵分解。如果我們求出了矩陣A的$n$個特徵值$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_n$,以及這$n$個特徵值所對應的特徵向量$\{w_1,w_2,...w_n\}$，，如果這$n$個特徵向量線性無關，那麼矩陣A就可以用下式的特徵分解表示：$$A=W\Sigma W^{-1}$$
其中W是這$n$個特徵向量所張成的$n \times n$維矩陣，而$\Sigma$為這n個特徵值為主對角線的$n \times n$維矩陣。
一般我們會把W的這$n$個特徵向量標準化，即滿足$||w_i||_2 =1$, 或者說$w_i^Tw_i =1$，此時W的$n$個特徵向量為標準正交基，滿足$W^TW=I$，即$W^T=W^{-1}$, 也就是說W為酉矩陣。
這樣我們的特徵分解表示式可以寫成$$A=W\Sigma W^T$$
注意到要進行特徵分解，矩陣A必須為方陣。那麼如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進行分解嗎？答案是可以，此時我們的SVD登場了。
2. SVD的定義
SVD也是對矩陣進行分解，但是和特徵分解不同，SVD並不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個$m \times n$的矩陣，那麼我們定義矩陣A的SVD為：$$A = U\Sigma V^T$$
其中U是一個$m \times m$的矩陣，$\Sigma$是一個$m \times n$的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值，V是一個$n \times n$的矩陣。U和V都是酉矩陣，即滿足$U^TU=I, V^TV=I$。下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：
那麼我們如何求出SVD分解後的$U, \Sigma, V$這三個矩陣呢？
如果我們將A的轉置和A做矩陣乘法，那麼會得到$n \times n$的一個方陣$A^TA$。既然$A^TA$是方陣，那麼我們就可以進行特徵分解，得到的特徵值和特徵向量滿足下式：$$(A^TA)v_i = \lambda_i v_i$$
這樣我們就可以得到矩陣$A^TA$的n個特徵值和對應的n個特徵向量$v$了。將$A^TA$的所有特徵向量張成一個$n \times n$的矩陣V，就是我們SVD公式裡面的V矩陣了。一般我們將V中的每個特徵向量叫做A的右奇異向量。
如果我們將A和A的轉置做矩陣乘法，那麼會得到$m \times m$的一個方陣$AA^T$。既然$AA^T$是方陣，那麼我們就可以進行特徵分解，得到的特徵值和特徵向量滿足下式：$$(AA^T)u_i = \lambda_i u_i$$
這樣我們就可以得到矩陣$AA^T$的m個特徵值和對應的m個特徵向量$u$了。將$AA^T$的所有特徵向量張成一個$m \times m$的矩陣U，就是我們SVD公式裡面的U矩陣了。一般我們將U中的每個特徵向量叫做A的左奇異向量。
U和V我們都求出來了，現在就剩下奇異值矩陣$\Sigma$沒有求出了。由於$\Sigma$除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值$\sigma$就可以了。
我們注意到:$$A=U\Sigma V^T \Rightarrow AV=U\Sigma V^TV \Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow Av_i = \sigma_i u_i \Rightarrow \sigma_i = Av_i / u_i $$
這樣我們可以求出我們的每個奇異值，進而求出奇異值矩陣$\Sigma$。
上面還有一個問題沒有講，就是我們說$A^TA$的特徵向量組成的就是我們SVD中的V矩陣，而$AA^T$的特徵向量組成的就是我們SVD中的U矩陣，這有什麼根據嗎？這個其實很容易證明，我們以V矩陣的證明為例。$$A=U\Sigma V^T \Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T \Rightarrow A^TA = V\Sigma^T U^TU\Sigma V^T = V\Sigma^2V^T$$
上式證明使用了:$U^TU=I, \Sigma^T\Sigma=\Sigma^2。$可以看出$A^TA$的特徵向量組成的的確就是我們SVD中的V矩陣。類似的方法可以得到$AA^T$的特徵向量組成的就是我們SVD中的U矩陣。
進一步我們還可以看出我們的特徵值矩陣等於奇異值矩陣的平方，也就是說特徵值和奇異值滿足如下關係：$$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$$
這樣也就是說，我們可以不用$ \sigma_i = Av_i / u_i$來計算奇異值，也可以通過求出$A^TA$的特徵值取平方根來求奇異值。
3. SVD計算舉例
這裡我們用一個簡單的例子來說明矩陣是如何進行奇異值分解的。我們的矩陣A定義為：
$$\mathbf{A} =
\left( \begin{array}{ccc}
0& 1\\ 1& 1\\
1& 0 \end{array} \right)$$
我們首先求出$A^TA$和$AA^T$
$$\mathbf{A^TA} =
\left( \begin{array}{ccc}
0& 1 &1\\
1&1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
0& 1\\ 1& 1\\
1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
2& 1 \\
1& 2 \end{array} \right)$$
$$\mathbf{AA^T} =
\left( \begin{array}{ccc}
0& 1\\ 1& 1\\
1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
0& 1 &1\\
1&1& 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
1& 1 & 0\\ 1& 2 & 1\\
0& 1& 1 \end{array} \right)$$
進而求出$A^TA$的特徵值和特徵向量：$$\lambda_1= 3; v_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_2= 1; v_2 = \left( \begin{array}{ccc}
-1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right) $$
接著求$AA^T$的特徵值和特徵向量：
$$\lambda_1= 3; u_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\
1/\sqrt{6} \end{array} \right); \lambda_2= 1; u_2 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\ 0 \\
-1/\sqrt{2} \end{array} \right); \lambda_3= 0; u_3 = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\
1/\sqrt{3} \end{array} \right)$$
利用$Av_i = \sigma_i u_i, i=1,2$求奇異值：
$$
\left( \begin{array}{ccc}
0& 1\\ 1& 1\\
1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\
1/\sqrt{6} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3}$$
$$
\left( \begin{array}{ccc}
0& 1\\ 1& 1\\
1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
-1/\sqrt{2} \\
1/\sqrt{2} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} \\ 0 \\
-1/\sqrt{2} \end{array} \right) \Rightarrow \sigma_2=1$$
當然，我們也可以用$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$直接求出奇異值為$\sqrt{3}$和1.
最終得到A的奇異值分解為：$$A=U\Sigma V^T = \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6} & 0 & -1/\sqrt{3}\\
1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\
0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\
-1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$$
4. SVD的一些性質
上面幾節我們對SVD的定義和計算做了詳細的描述，似乎看不出我們費這麼大的力氣做SVD有什麼好處。那麼SVD有什麼重要的性質值得我們注意呢？
對於奇異值,它跟我們特徵分解中的特徵值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就佔了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：$$A_{m \times n} = U_{m \times m}\Sigma_{m \times n} V^T_{n \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k} V^T_{k \times n}$$
其中k要比n小很多，也就是一個大的矩陣A可以用三個小的矩陣$U_{m \times k},\Sigma_{k \times k} ,V^T_{k \times n}$來表示。如下圖所示，現在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。
由於這個重要的性質，SVD可以用於PCA降維，來做資料壓縮和去噪。也可以用於推薦演算法，將使用者和喜好對應的矩陣做特徵分解，進而得到隱含的使用者需求來做推薦。同時也可以用於NLP中的演算法，比如潛在語義索引（LSI）。下面我們就對SVD用於PCA降維做一個介紹。
5. SVD用於PCA
在主成分分析（PCA）原理總結中，我們講到要用PCA降維，需要找到樣本協方差矩陣$X^TX$的最大的d個特徵向量，然後用這最大的d個特徵向量張成的矩陣來做低維投影降維。可以看出，在這個過程中需要先求出協方差矩陣$X^TX$，當樣本數多樣本特徵數也多的時候，這個計算量是很大的。
注意到我們的SVD也可以得到協方差矩陣$X^TX$最大的d個特徵向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現演算法可以不求先求出協方差矩陣$X^TX$，也能求出我們的右奇異矩陣$V$。也就是說，我們的PCA演算法可以不用做特徵分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA演算法的背後真正的實現就是用的SVD，而不是我們我們認為的暴力特徵分解。
另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那麼左奇異矩陣有什麼用呢？
假設我們的樣本是$m \times n$的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣$XX^T$最大的d個特徵向量張成的$m \times d$維矩陣U，則我們如果進行如下處理：$$X'_{d \times n} = U_{d \times m}^TX_{m \times n}$$
可以得到一個$d \times n$的矩陣X‘,這個矩陣和我們原來的$m \times n$維樣本矩陣X相比，行數從m減到了d，可見對行數進行了壓縮。也就是說，左奇異矩陣可以用於行數的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用於列數即特徵維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。
6. SVD小結
SVD作為一個很基本的演算法，在很多機器學習演算法中都有它的身影，特別是在現在的大資料時代，由於SVD可以實現並行化，因此更是大展身手。SVD的原理不難，只要有基本的線性代數知識就可以理解，實現也很簡單因此值得仔細的研究。當然，SVD的缺點是分解出的矩陣解釋性往往不強，有點黑盒子的味道，不過這不影響它的使用。
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