之前通過一個系列對支援向量機(以下簡稱SVM)演算法的原理做了一個總結，本文從實踐的角度對scikit-learn SVM演算法庫的使用做一個小結。scikit-learn SVM演算法庫封裝了libsvm 和 liblinear 的實現，僅僅重寫了演算法了介面部分。
1. scikit-learn SVM演算法庫使用概述
scikit-learn中SVM的演算法庫分為兩類，一類是分類的演算法庫，包括SVC， NuSVC，和LinearSVC 3個類。另一類是迴歸演算法庫，包括SVR， NuSVR，和LinearSVR 3個類。相關的類都包裹在sklearn.svm模組之中。
對於SVC， NuSVC，和LinearSVC 3個分類的類，SVC和 NuSVC差不多，區別僅僅在於對損失的度量方式不同，而LinearSVC從名字就可以看出，他是線性分類，也就是不支援各種低維到高維的核函式，僅僅支援線性核函式，對線性不可分的資料不能使用。
同樣的，對於SVR， NuSVR，和LinearSVR 3個迴歸的類， SVR和NuSVR差不多，區別也僅僅在於對損失的度量方式不同。LinearSVR是線性迴歸，只能使用線性核函式。
我們使用這些類的時候，如果有經驗知道資料是線性可以擬合的，那麼使用LinearSVC去分類 或者LinearSVR去迴歸，它們不需要我們去慢慢的調參去選擇各種核函式以及對應引數， 速度也快。如果我們對資料分佈沒有什麼經驗，一般使用SVC去分類或者SVR去迴歸，這就需要我們選擇核函式以及對核函式調參了。
什麼特殊場景需要使用NuSVC分類 和 NuSVR 迴歸呢？如果我們對訓練集訓練的錯誤率或者說支援向量的百分比有要求的時候，可以選擇NuSVC分類 和 NuSVR 。它們有一個引數來控制這個百分比。
這些類的詳細使用方法我們在下面再詳細講述。
2. 回顧SVM分類演算法和迴歸演算法
我們先簡要回顧下SVM分類演算法和迴歸演算法，因為這裡面有些引數對應於演算法庫的引數，如果不先複習下，下面對引數的講述可能會有些難以理解。
對於SVM分類演算法，其原始形式是：$$min\;\; \frac{1}{2}||w||_2^2 +C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i $$ $$ s.t. \;\; y_i(w \bullet \phi(x_i) + b) \geq 1 - \xi_i \;\;(i =1,2,...m)$$ $$\xi_i \geq 0 \;\;(i =1,2,...m)$$
其中m為樣本個數，我們的樣本為$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)$。$w,b$是我們的分離超平面的$w \bullet \phi(x_i) + b = 0$係數, $\xi_i $為第i個樣本的鬆弛係數， C為懲罰係數。$\phi(x_i)$為低維到高維的對映函式。
通過拉格朗日函式以及對偶化後的形式為：$$ \underbrace{ min }_{\alpha} \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j) - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i $$ $$ s.t. \; \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0 $$ $$0 \leq \alpha_i \leq C$$
其中和原始形式不同的$\alpha$為拉格朗日系數向量。$K(x_i,x_j) $為我們要使用的核函式。
對於SVM迴歸演算法，其原始形式是：$$min\;\; \frac{1}{2}||w||_2^2 + C\sum\limits_{i=1}^{m}(\xi_i^{\lor}+ \xi_i^{\land}) $$ $$s.t. \;\;\; -\epsilon - \xi_i^{\lor} \leq y_i - w \bullet \phi(x_i ) -b \leq \epsilon + \xi_i^{\land}$$ $$\xi_i^{\lor} \geq 0, \;\; \xi_i^{\land} \geq 0 \;(i = 1,2,..., m)$$
其中m為樣本個數，我們的樣本為$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)$。$w,b$是我們的迴歸超平面的$w \bullet x_i + b = 0$係數, $\xi_i^{\lor}， \xi_i^{\land}$為第i個樣本的鬆弛係數， C為懲罰係數，$\epsilon$為損失邊界，到超平面距離小於$\epsilon$的訓練集的點沒有損失。$\phi(x_i)$為低維到高維的對映函式。
通過拉格朗日函式以及對偶化後的形式為：$$ \underbrace{ min}_{\alpha^{\lor}, \alpha^{\land}}\; \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}(\alpha_i^{\land} - \alpha_i^{\lor})(\alpha_j^{\land} - \alpha_j^{\lor})K(x_i,x_j) - \sum\limits_{i=1}^{m}(\epsilon-y_i)\alpha_i^{\land}+ (\epsilon+y_i)\alpha_i^{\lor} $$ $$ s.t. \; \sum\limits_{i=1}^{m}(\alpha_i^{\land} - \alpha_i^{\lor}) = 0 $$ $$ 0 < \alpha_i^{\lor} < C \; (i =1,2,...m)$$ $$ 0 < \alpha_i^{\land} < C \; (i =1,2,...m)$$
其中和原始形式不同的$\alpha^{\lor}， \alpha^{\land}$為拉格朗日系數向量。$K(x_i,x_j) $為我們要使用的核函式。
3. SVM核函式概述
在scikit-learn中，內建的核函式一共有4種，當然如果你認為線性核函式不算核函式的話，那就只有三種。
1）線性核函式（Linear Kernel）表示式為：$K(x, z) = x \bullet z $，就是普通的內積，LinearSVC 和 LinearSVR 只能使用它。
2) 多項式核函式（Polynomial Kernel）是線性不可分SVM常用的核函式之一，表示式為：$K(x, z) = （\gamma x \bullet z + r)^d$ ，其中，$\gamma, r, d$都需要自己調參定義,比較麻煩。
3）高斯核函式（Gaussian Kernel），在SVM中也稱為徑向基核函式（Radial Basis Function,RBF），它是libsvm預設的核函式，當然也是scikit-learn預設的核函式。表示式為：$K(x, z) = exp(-\gamma||x-z||^2)$， 其中，$\gamma$大於0，需要自己調參定義。
4）Sigmoid核函式（Sigmoid Kernel）也是線性不可分SVM常用的核函式之一，表示式為：$K(x, z) = tanh（\gamma x \bullet z + r)$， 其中，$\gamma, r$都需要自己調參定義。
一般情況下，對非線性資料使用預設的高斯核函式會有比較好的效果，如果你不是SVM調參高手的話，建議使用高斯核來做資料分析。
4. SVM分類演算法庫引數小結
這裡我們對SVM分類演算法庫的重要引數做一個詳細的解釋，重點講述調參的一些注意點。
| 引數 | LinearSVC | SVC | NuSVC |
| 懲罰係數C | 即為我們第二節中SVM分類模型原型形式和對偶形式中的懲罰係數C，預設為1，一般需要通過交叉驗證來選擇一個合適的C。一般來說，如果噪音點較多時，C需要小一些。 | NuSVC沒有這個引數, 它通過另一個引數nu來控制訓練集訓練的錯誤率，等價於選擇了一個C，讓訓練集訓練後滿足一個確定的錯誤率 | |
| nu | LinearSVC 和SVC沒有這個引數，LinearSVC 和SVC使用懲罰係數C來控制懲罰力度。 | nu代表訓練集訓練的錯誤率的上限，或者說支援向量的百分比下限，取值範圍為(0,1],預設是0.5.它和懲罰係數C類似，都可以控制懲罰的力度。 | |
| 核函式 kernel | LinearSVC沒有這個引數，LinearSVC限制了只能使用線性核函式 |
核函式有四種內建選擇，第三節已經講到：‘linear’即線性核函式, ‘poly’即多項式核函式, ‘rbf’即高斯核函式, ‘sigmoid’即sigmoid核函式。如果選擇了這些核函式， 對應的核函式引數在後面有單獨的引數需要調。預設是高斯核'rbf'。 還有一種選擇為"precomputed",即我們預先計算出所有的訓練集和測試集的樣本對應的Gram矩陣，這樣$K(x,z)$直接在對應的Gram矩陣中找對應的位置的值。 當然我們也可以自定義核函式， 由於我沒有用過自定義核函式，這裡就不多講了。 |
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| 正則化引數penalty | 僅僅對線性擬合有意義，可以選擇‘l1’即L1正則化 或者 ‘l2’即L2正則化。預設是L2正則化，如果我們需要產生稀疏話的係數的時候，可以選L1正則化,這和線性迴歸裡面的Lasso迴歸類似。 | SVC和NuSVC沒有這個引數 | |
| 是否用對偶形式優化dual | 這是一個布林變數，控制是否使用對偶形式來優化演算法，預設是True,即採用上面第二節的分類演算法對偶形式來優化演算法。如果我們的樣本量位元徵數多，此時採用對偶形式計算量較大，推薦dual設定為False，即採用原始形式優化 | SVC和NuSVC沒有這個引數 | |
| 核函式引數degree | LinearSVC沒有這個引數，LinearSVC限制了只能使用線性核函式 | 如果我們在kernel引數使用了多項式核函式 'poly'，那麼我們就需要對這個引數進行調參。這個引數對應$K(x, z) = （\gamma x \bullet z + r)^d$中的$d$。預設是3。一般需要通過交叉驗證選擇一組合適的$\gamma, r, d$ | |
| 核函式引數gamma | LinearSVC沒有這個引數，LinearSVC限制了只能使用線性核函式 |
如果我們在kernel引數使用了多項式核函式 'poly'，高斯核函式‘rbf’, 或者sigmoid核函式，那麼我們就需要對這個引數進行調參。 多項式核函式中這個引數對應$K(x, z) = （\gamma x \bullet z + r)^d$中的$\gamma$。一般需要通過交叉驗證選擇一組合適的$\gamma, r, d$ 高斯核函式中這個引數對應$K(x, z) = exp(-\gamma||x-z||^2)$中的$\gamma$。一般需要通過交叉驗證選擇合適的$\gamma$ sigmoid核函式中這個引數對應$K(x, z) = tanh（\gamma x \bullet z + r)$中的$\gamma$。一般需要通過交叉驗證選擇一組合適的$\gamma, r$ $\gamma$預設為'auto',即$\frac{1}{特徵維度}$ |
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| 核函式引數coef0 | LinearSVC沒有這個引數，LinearSVC限制了只能使用線性核函式 |
如果我們在kernel引數使用了多項式核函式 'poly'，或者sigmoid核函式，那麼我們就需要對這個引數進行調參。 多項式核函式中這個引數對應$K(x, z) = （\gamma x \bullet z + r)^d$中的$r$。一般需要通過交叉驗證選擇一組合適的$\gamma, r, d$ sigmoid核函式中這個引數對應$K(x, z) = tanh（\gamma x \bullet z + r)$中的$r$。一般需要通過交叉驗證選擇一組合適的$\gamma, r$ coef0預設為0 |
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| 樣本權重class_weight | 指定樣本各類別的的權重，主要是為了防止訓練集某些類別的樣本過多，導致訓練的決策過於偏向這些類別。這裡可以自己指定各個樣本的權重，或者用“balanced”，如果使用“balanced”，則演算法會自己計算權重，樣本量少的類別所對應的樣本權重會高。當然，如果你的樣本類別分佈沒有明顯的偏倚，則可以不管這個引數，選擇預設的"None" | ||
| 分類決策decision_function_shape | LinearSVC沒有這個引數，使用multi_class引數替代。 | 可以選擇'ovo'或者‘ovo’.目前0.18版本預設是'ovo'.0.19版本將是'ovr'
OvR(one ve rest)的思想很簡單，無論你是多少元分類，我們都可以看做二元分類。具體做法是，對於第K類的分類決策，我們把所有第K類的樣本作為正例，除了第K類樣本以外的所有樣本都作為負例，然後在上面做二元分類，得到第K類的分類模型。其他類的分類模型獲得以此類推。 OvO(one-vs-one)則是每次每次在所有的T類樣本里面選擇兩類樣本出來，不妨記為T1類和T2類，把所有的輸出為T1和T2的樣本放在一起，把T1作為正例，T2作為負例，進行二元分類，得到模型引數。我們一共需要T(T-1)/2次分類。 從上面的描述可以看出OvR相對簡單，但分類效果相對略差（這裡指大多數樣本分佈情況，某些樣本分佈下OvR可能更好）。而OvO分類相對精確，但是分類速度沒有OvR快。一般建議使用OvO以達到較好的分類效果。 |
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| 分類決策multi_class |
可以選擇 ‘ovr’ 或者 ‘crammer_singer’ ‘ovr’和SVC和nuSVC中的decision_function_shape對應的‘ovr’類似。 'crammer_singer'是一種改良版的'ovr'，說是改良，但是沒有比’ovr‘好，一般在應用中都不建議使用。 |
SVC和nuSVC沒有這個引數，使用decision_function_shape引數替代。 | |
| 快取大小cache_size |
LinearSVC計算量不大，因此不需要這個引數 |
在大樣本的時候，快取大小會影響訓練速度，因此如果機器記憶體大，推薦用500MB甚至1000MB。預設是200，即200MB. | |
5. SVM迴歸演算法庫引數小結
SVM迴歸演算法庫的重要引數巨大部分和分類演算法庫類似，因此這裡重點講述和分類演算法庫不同的部分，對於相同的部分可以參考上一節對應引數。
| 引數 | LinearSVR | SVR | nuSVR |
| 懲罰係數C | 即為我們第二節中SVM分類模型原型形式和對偶形式中的懲罰係數C，預設為1，一般需要通過交叉驗證來選擇一個合適的C。一般來說，如果噪音點較多時，C需要小一些。大家可能注意到在分類模型裡面，nuSVC使用了nu這個等價的引數控制錯誤率，就沒有使用C，為什麼我們nuSVR仍然有這個引數呢，不是重複了嗎？這裡的原因在迴歸模型裡面，我們除了懲罰係數C還有還有一個距離誤差$\epsilon$來控制損失度量，因此僅僅一個nu不能等同於C.也就是說迴歸錯誤率是懲罰係數C和距離誤差$\epsilon$共同作用的結果。後面我們可以看到nuSVR中nu的作用。 | ||
| nu | LinearSVR 和SVR沒有這個引數，用$\epsilon$控制錯誤率 | nu代表訓練集訓練的錯誤率的上限，或者說支援向量的百分比下限，取值範圍為(0,1],預設是0.5.通過選擇不同的錯誤率可以得到不同的距離誤差$\epsilon$。也就是說這裡的nu的使用和LinearSVR 和SVR的$\epsilon$引數等價。 | |
| 距離誤差epsilon | 即我們第二節迴歸模型中的$\epsilon$，訓練集中的樣本需滿足$-\epsilon - \xi_i^{\lor} \leq y_i - w \bullet \phi(x_i ) -b \leq \epsilon + \xi_i^{\land}$ | nuSVR沒有這個引數，用nu控制錯誤率 | |
| 是否用對偶形式優化dual | 和SVC類似，可參考上一節的dual描述 | SVR和NuSVR沒有這個引數 | |
| 正則化引數penalty | 和SVC類似，可參考上一節的penalty 描述 | SVR和NuSVR沒有這個引數 | |
| 核函式 kernel | LinearSVR沒有這個引數，LinearSVR限制了只能使用線性核函式 | 和SVC, nuSVC類似，可參考上一節的kernel描述 | |
| 核函式引數degree, gamma 和coef0 | LinearSVR沒有這些引數，LinearSVR限制了只能使用線性核函式 | 和SVC, nuSVC類似，可參考上一節的kernel引數描述 | |
| 損失函式度量loss |
可以選擇為‘epsilon_insensitive’ 和 ‘squared_epsilon_insensitive’ ，如果選擇‘epsilon_insensitive’ ，則損失度量滿足$-\epsilon - \xi_i^{\lor} \leq y_i - w \bullet \phi(x_i ) -b \leq \epsilon + \xi_i^{\land}$，即和第二節的損失度量一樣。是預設的SVM迴歸的損失度量標準形式。 如果選擇為 ‘squared_epsilon_insensitive’ , 則損失度量滿足$ (y_i - w \bullet \phi(x_i ) -b)^2 \leq \epsilon + \xi_i$，此時可見會少一個鬆弛係數。其優化過程我們在SVM原理系列裡沒有講，但是目標函式優化過程是完全相似的。 一般用預設的‘epsilon_insensitive’就足夠了。 |
SVR和NuSVR沒有這個引數 | |
| 快取大小cache_size |
LinearSVC計算量不大，因此不需要這個引數 |
在大樣本的時候，快取大小會影響訓練速度，因此如果機器記憶體大，和SVC，nuSVC一樣，推薦用500MB甚至1000MB。預設是200，即200MB. | |
6. SVM演算法庫其他調參要點
上面已經對scikit-learn中類庫的引數做了總結，這裡對其他的調參要點做一個小結。
1）一般推薦在做訓練之前對資料進行歸一化，當然測試集中的資料也需要歸一化。。
2）在特徵數非常多的情況下，或者樣本數遠小於特徵數的時候，使用線性核，效果已經很好，並且只需要選擇懲罰係數C即可。
3）在選擇核函式時，如果線性擬合不好，一般推薦使用預設的高斯核'rbf'。這時我們主要需要對懲罰係數C和核函式引數$\gamma$進行艱苦的調參，通過多輪的交叉驗證選擇合適的懲罰係數C和核函式引數$\gamma$。
4）理論上高斯核不會比線性核差，但是這個理論卻建立在要花費更多的時間來調參上。所以實際上能用線性核解決問題我們儘量使用線性核。
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