[數學] 生成函式

前置知識

在介紹生成函式前，讀者需瞭解以下概念。此部分的基本概念僅供簡單回顧，如需詳細瞭解請自行搜尋。

• 自然常數 \(e\)，\(e=\lim \limits_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x\).

• \(\ln\) 運算。即以 \(e\) 為底的對數。

• 導數。即函式的瞬時變化率。即 \(\lim \limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，求解一個函式的導函式也是必須內容，這裡不再贅述，讀者請自行搜尋。同時，導數也具有一些運算性質，這裡簡單列舉幾點。

  • \([cf(x)]'=cf'(x)\)
  • \([f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)
  • \([f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)\)
  • \([f(x)\times g(x)]'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)\)
  • \([\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}\)
  • 令 \(u=g(x),[f(g(x))'=f'(u)\times g'(x)]\)

• 牛頓迭代。牛頓迭代法用於求解函式零點。也就是求函式 \(f(x)=0\) 的解。我們在影像上隨意選擇一個點 \(p\)，過點 \(p\) 作函式的切線。這條切線與 \(x\) 軸的交點一定比原來的點更接近答案。容易發現，這條切線就是導數。

  滿足 \(f'(x_0)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) ,即 \(x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) 更多用法請自行搜尋，這裡不再贅述。

• 多項式：
  對於求和式 \(\sum a_{n^{x^n}}\)，如果是有限項相加，稱為多項式。記作 \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^m a_{n^{x^n}}\).

定義

定義多項式 \(A(x)\) 的係數數列為 \(A\)，則稱 \(A(x)\) 為數列 \(A\) 的生成函式。

\(A(x)=\sum \limits_{k=0}^{+\infty}A_kx^k=A_0+A_1x+A_2x+A_3x+\dots\)

當然，這樣的定義過於抽象，我們來舉個例子。

對於數列 \(\{1,1,1,1\dots\}\)，它的生成函式 \(F(x)=1+x+x^2+x^2+x^3+\dots\)，易得

\(xF(x)=x+x^2+x^3+\dots\)

即 \(xF(x)-F(x)=1\).

解得 \(f(x)=\frac{1}{1-x}\).

也就是 \(1+x+x^2+x^3+x^4+\dots=\frac{1}{1-x}(|x|<1)\).

可以看出，數列作生成函式的係數。

一般來說，當多項式中含有求和或者無限項，我們不好分析。此時，我們可以將其轉換為封閉形式，也就是含有有限項的形式。上述轉化恰好體現了這一點。

簡單例題

數列 \(\{a_n\}\) 滿足 \(a_0=0,a_n=3a_{n-1}+2 (n\geq 1)，\)求數列的通項公式。

注意到數列是無限延申的，我們考慮利用生成函式將其封閉。

定義 \(A(x)=\sum \limits_{k=0}^{+\infty}a_k {x^{k}}\)，則。

\[A(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3\dots \]

將條件代入，且將 \(2\) 提出，得：

\[A(x)=0+3a_0x+3a_1x^2+3a_2x^2+\dots+2+2x+2x^2+2x^3\dots \]

（這一步如果不理解可以自行推導一下）

我們發現，對於前半部分和後半部分，都可以分別提出公因式，最終得：

\[A(x)=3x A(x)+ \frac{2x}{1-x} \]

當然需要移項，最終，透過生成函式，我們得到了它的封閉形式。

\[A(x)=\frac{2x}{(1-3x)(1-x)} \]