2023年10月 00023高等數學（工本）真題解析

說明

2023年10月 00023高等數學（工本）真題解析

單選題

1. 在空間直角座標系中, 點（1,1,0）在（ A ）

   A. Oxy平面 B.Oxz平面 C.Oyz平面 D.z軸

2. 極限\(\lim\limits_{x\rightarrow0\atop y\rightarrow3}xsin\dfrac{1}{xy}=\)( A )
   A.0 B.1 C.3 D.不存在
   解：

   \[x\rightarrow0,y\rightarrow3時x\rightarrow0 \quad sin\dfrac{1}{xy} 是(-1,1)的有界函式， 所以\lim\limits_{x\rightarrow0\atop y\rightarrow3}xsin\dfrac{1}{xy}=0 \]

3. 微分方程是（ B ）
   A.可分離變數的微分方程 B. 齊次方程 C.一階線性齊次方程 D.一階線性非齊次方程

4. 下列無窮級數中，收斂的無窮級數是（D）
   A. \(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-2}{3n+1}\) B.\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\)C.\(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n-1}}{2^{n+1}}\)D.\(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}\)
   解：
   A \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty} u_n=\dfrac{2}{3} \neq0\)發散
   B 震盪函式不收斂
   C\(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n}}{2^{n}\cdot6}= \dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^\infty(\dfrac{3}{2})^n\) 發散
   Dp級數且P>1收斂

5. 設積分割槽域\(D: x^2+y^2\leq4\),則二重積分\(\iint\limits_D(2-x-y)dxdy=\)
   A. 0 B. $ 4 \pi $ C. $ 8\pi$ D. $ 16\pi\( 解：\) \iint\limits_D(2-x-y)dxdy= \int_0^{2\pi} d\theta\int_0^2(2-sin\theta-cos\theta)rdr = 2\int_0^{2\pi}(2-sin\theta-cos\theta)d\theta=8\pi$

6. 向量$ \alpha={2,1,-9} \quad \beta={1,0,1} 則\alpha\cdot\beta= \( 解：\) \alpha \cdot\beta =（2\times1）+（1\times0）+(-9\times1)=-7 $

7. 設函式$ f(x,y)=\dfrac{4xy}{x^2-y2}則f(1,\dfrac{y}{x})=$
   A. $ \dfrac{4y}{x^2-y2} $ B. $ \dfrac{4y}{y^2-x2} $C. $ \dfrac{4xy}{x^2-y2} $D. $ \dfrac{4y}{y^2-x2} \( 解：\) 將(1,\dfrac{y}{x}) 代入f(1,\dfrac{y}{x})= \dfrac{4\dfrac{y}{x}}{1-\dfrac{y^2}{x2}}= \dfrac{4xy}{x^2-y2} $

8. 設函式\(f(x)\)是週期為$ 2\pi\(的週期函式，\)f(x)\(的傅立葉函式為\) \dfrac{3}{4}+\sum\limits_1^{\infty\dfrac{(-1)}\cdot 3}{n^2}\(則的傅立葉係數為\) b_1=\( A.-3 B. 0 C. 3 D.\)\dfrac{15}{4}$
   解：

9. x

10. x

11. x

12. x