總體估計中的相關公式 | 高一使用

前言

相關公式

【人教 2019 A 版 \(P_{215}\) 練習 2】 資料 \(x_1\)，\(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差為 \(s_x^2\)， 資料 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差為 \(s_y^2\)， \(a\)、 \(b\) 為常數. 證明:

(1) . 如果 \(y_1=x_1+b\)， \(y_2=x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=x_n+b\)， 那麼 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

證明：由於 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=\bar{x}+b\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(x_i+b)-(\bar{x}+b)]^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2=s_x^2\)

故有 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

(2) . 如果 \(y_1=ax_1\)， \(y_2=ax_2\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n\)， 那麼 \(s_y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot s_x^2\).

證明：由於 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=a\cdot\bar{x}\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(a\cdot x_i-a\cdot\bar{x})^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot s_x^2\)

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 習題9.2的第 4 題】資料 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差和標準差分別為 \(s_x^2\)， \(s_x\)， 資料 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差和標準差分別為 \(s_y^2\)， \(s_y\). 若 \(y_1=a x_1+b\)， \(y_2=a x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n+b\) 成立， \(a\)， \(b\) 為常數， 證明: \(s_y^2=\)\(a^2\cdot\)\(s_x^2\)，\(s_y\)\(=\)\(|a|\)\(s_x\).

仿上題證明；

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 習題9.2的第 5 題】 資料 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差 \(s^2=0\)， 證明: 所有的 \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) 都相同.

證明：由於 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0\)，故 \(x_-\bar{x}=0\)，即 \(x_i=\bar{x}\)， \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) ，得證 .

【人教 2019 A 版 \(P_{218}\) 習題9.2的第 11 題】已知總體劃分為 \(3\) 層，透過分層隨機抽樣， 各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為: \(l\)， \(\bar{x}\)， \(s_1^2\) ； \(m\)， \(\bar{y}\)， \(s_2^2\)； \(n\)，\(\bar{z}\)， \(s_3^2\) . 記總的樣本平均數為 \(\bar{w}\)， 樣本方差為 \(s^2\)， 證明:

(1). \(\bar{w}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}\);

(2). \(s^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{l+m+n}\)\(\bigg\{l\cdot\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(m\cdot\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(n\cdot\left[s_3^2+(\bar{z}-\bar{w})^2\right]\bigg\}\).