一文讀懂深度學習中的矩陣微積分

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魚羊 編譯整理
量子位 報導 | 公眾號 QbitAI

想要真正瞭解深度神經網路是如何訓練的，免不了從矩陣微積分說起。

雖然網路上已經有不少關於多元微積分和線性代數的線上資料，但它們通常都被視作兩門獨立的課程，資料相對孤立，也相對晦澀。

不過，先別打退堂鼓，來自舊金山大學的Terence Parr教授說：矩陣微積分真的沒有那麼難。

這位ANTLR之父和fast.ai創始人Jeremy Howard一起推出了一篇免費教程，旨在幫你快速入門深度學習中的矩陣微積分。簡明，易懂。

DeepMind研究科學家Andrew Trask評價說：

如果你想跳過不相干的內容，一文看盡深度學習中所需的數學知識，那麼就是這份資源沒錯了。

只需一點關於微積分和神經網路的基礎知識，就能單刀直入，開始以下的學習啦。

深度學習所需的矩陣微積分

先來看一眼這篇教程都涵蓋了哪些內容：

• 基本概念

• 矩陣微積分

• 神經元啟用的梯度

• 神經網路損失函式的梯度

文章開篇，先介紹了一下人工神經元。
          

神經網路中單個計算單元的啟用函式，通常使用權重向量w與輸入向量x的點積來計算。

神經網路由許多這樣的單位組成。它們被組織成稱為層的神經元集合。上一層單元的啟用成為下一層單元的輸入，最後一層中一個或多個單元的啟用稱為網路輸出。

訓練神經元意味著對權重w和偏差b的選擇。我們的目標是逐步調整w和b，使總損失函式在所有輸入x上都保持較小。

導數規則、向量計算、偏導數……複習完需要掌握的先導知識，文章開始進入重要規則的推導，這些規則涉及向量偏導數的計算，是神經網路訓練的基礎。

比如在矩陣微積分這一節中，涵蓋：

• 雅可比式（Jacobian）的推廣

• 向量element-wise二元運算元的導數

• 涉及標量展開的導數

• 向量和降維

• 鏈式法則

每一小節中，都有簡潔明瞭的示例，由淺入深，層層遞進。

如果你在學習的過程中遇到不理解的地方，不要著急，耐心返回上一節閱讀，重新演算一下文中的示例，或許就能理順思路。

如果實在是卡住了無法推進，你還可以在fast.ai論壇（連結見文末）的“Theory”分類下提問，向Parr和Howard本人求解答。

而在文章的末尾，作者附上了所有數學符號的對照表。

以及重點概念的詳細補充資訊。

值得注意的是，Parr和Howard也強調了，與其他學術方法不同，他們強烈建議先學會如何訓練和使用神經網路，然後再深入瞭解背後的基礎數學。因為有了實踐經驗，數學會變得剛容易理解。

傳送門

網頁版：
https://explained.ai/matrix-calculus/index.html

PDF：
https://arxiv.org/abs/1802.01528

在我愛計算機視覺公眾號後臺回覆“矩陣微積分”，即可收到PDF下載地址。

fast.ai論壇：
http://forums.fast.ai/

作者系網易新聞·網易號“各有態度”簽約作者

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