[數學趣味001]RSA演算法原理及示例

寫著寫著就懂了發表於2014-05-24
演算法

可以先看看這個視訊： RSA_Encryption_Algorithm

公開金鑰

Perwork:
私鑰：Sender和Receiver預先約定加密和解密方案，向其他人保密。
這個實現比較難：向其他人保密。假如你是個商家，很多人要和你聯絡，傳送者可能和你一點關係也沒有，怎麼保密。
需求：Sender素不相識，傳送訊息需求保密，加密方案必須公開。【就和信箱一樣，所有人都可以向你公開的的信箱裡投信件，但是隻有你才有鑰匙(私有的)取信件】
公鑰：加密方案向所有人公開，解密方案只有Receiver知道，對其他所有人(包括Sender),Sender和除Receiver外所有人都是平等的，【Sender把信件放入Receive信箱了，Sender就不能再看到信件內容啦】

這就要求加密很容易，但是解密很難的演算法！從跳板裡跳入水裡容易，想跳回去就不是那麼容易啦。

先用一下示例講下流程：

1. 定義一個資訊集合

Zset={0,1,2,3,...90}.

這個就是相當於26個英文字母，只要知道這26個字母，你就可以拼出任何想要的資訊，只是我們把26個擴充套件為了91個。

2. Sender 要傳送的資訊為

%%現實生活中：
Msg = ”晚上一起吃飯”;
%%等價為資訊集合裡是：只要Reciver得到的內容最終為{1,2,3,4,5,6}就可以知道是現實的“晚上一起吃飯”
Msg ={1,2,3,4,5,6};

這裡的Msg就是一個明文。

3. Sender 把資訊編碼為明文後，還要進行加密！

把明文的每一個元素都對映為另一個唯一的值(密文：可以公開的值)

 

%%明文
Msg = {1,2,3,4,5,6};
%%使用加密：C = A^5(mod 91)
%%A^5 -->
NewMsg = {1,32,243,1024,3125,7776}
%%mod 91  對91取餘得到密文
NewMsg = {1,32,61,23,32,41};

簡單來說：加密過程為：

%%  明文             公式:5次方後對91取餘         密文
     A -------------> A
5 
 mod 91 -------------->C

最後的保證：A和C絕對是一對一對映關係。

Question1: 那麼這個密文怎麼保證不被破解呢？

我們試下從這公開的加密公式和密文反推之

可以看出，通過窮舉，我們還是可以得到結果的，但這個計算次數也是指數增長的，且計算開根號得整數操作很要耗時，

一個演算法最後逼得人只能用窮舉來解密，那麼就是成功啦，

思考：如果公式裡面不是5次方，而是三位數，四位數的次方，那計算量就更大。

3 . sender把這密文發給Receiver 加密工作完成

4. 解密：Receive知道資訊比Sender多的就是這個91是怎麼來的，這個是關鍵。

4.1 91 = 7*13 (實現應用中，會設定為2個非常大的素數相乘，讓Sender看不出是哪2個素數來，我們為了演示簡單，假定Sender不會得到91=7*13這個結果，只有Receiver知道)

這個演算法就是利用了這一點：2個素數乘積的結果很容易，但是想反過來把結果反推為哪2個素數相乘很難。所有公開金鑰都是正著做容易，反過來就是很難

4.2 根據費馬小定理：和輾轉相除法可以得到：

5d = 1+(13-1)*(7-1)*k

從以上可以“容易窮舉出一個”k=2時 ：5*29 = 1+（13-1）*（7-1）*2

4.3 接著我們對密文C再乘29次方後對91取餘就可以直接得到明文啦

你只要知道那個29，就可以得到破解啦！！！！！

是不是很神奇！！！！！！當然我們還是有很多迷惑的，比如：

為什麼選5，91，這些數字有什麼要求？接下來，我們先理一下上面的步驟:

 

步驟 示例
取2個大質數：p,q p=7,q=13
金鑰:n=p*q,h 是一個與(p-1)(q-1)互質的數, 公開n 和 h ,p,q不公開 n =91，h = 5（與72互質）
加密（公開）C = Ah (mod n) A = 明文,h=5,n=91,C= 密文
解密（保密）hd = 1+(p-1)(q-1)k---->A = C d mod 91 5d = 1+72*k, 當k=2時，d=29成立
解密完成 密文乘方29 再對91取模 得到明文

 

原理證明 ：

1. 取2個很大的不相等的質數p,q ;

2. m = p*q

3. 根據尤拉函式：比m小的質數個數r = φ(N) = φ(p)*φ(q) = (p-1)*(q-1)

4. 選取一個與R互質的數e

5. 根據歐幾里德(輾轉相除)定理：2個互質的數一定滿足：e*x – r*y =1;

6. 上式等價為： e*d – r*k = 1;

7.密文c ,明文a , 加密 a e = c (mod m);

8. 解密： c d = a (mod m),這個結論是 我們要證明的，

9. cd = ae*d = a 1+r*k =a*a r*k

所以只要證明： a*a r*k = a(mod m) ---->a r*k = 1 (mod m)

10 .根據費馬小定理:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}:

a r*k = (a k)r = 1 （mod m).

數學真有意思…….

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