相信大部分同學曾經都學習過快速排序、Huffman、KMP、Dijkstra等經典演算法，初次學習時我們驚歎於演算法的巧妙，同時被設計者的智慧所折服。於是，我們仔細研讀演算法的每一步，甚至去證明演算法的正確性，或者是去嘗試優雅地實現這些演算法。總之，我們會花費很大的時間精力去理解這些智慧的結晶。

然而，現在對於這些經典的演算法你仍然瞭然於胸嗎？就算現在你仍然記得這些演算法的步驟，你敢確保一年後、十年後自己不會忘記？我想沒有多少人敢保證吧。

我們當然希望自己掌握一個演算法後，就永遠不會忘記，最好還能舉一反三，利用演算法中的思想去解決新的問題。然而，現實與美好的願景往往是背道而馳，不要說舉一反三，我們甚至經常忘記那些演算法本身。

背演算法與設計演算法

為什麼會這樣？簡單來說，因為我們從來就沒有真正掌握過這些演算法，我們只不過是在背誦別人發明的演算法，就像我們背誦歷史書上的那些歷史事件一樣，時間久了自然會慢慢遺忘。

我們接觸到某個演算法時，看到的只是對演算法過程的講解，對其正確性的證明，或者對其效率的分析（想想大名鼎鼎的《演算法導論》，《演算法》是如何講解某一演算法的），我們不會看到那些牛人是如何“靈機一動”設計出了這驚天地泣鬼神的演算法。也就是說我們只是知其然，並沒有知其所以然。當我們不知道一個演算法的來龍去脈，不知道設計它經歷的那些思維歷程時，就很容易忘記它的具體內容。相反，那些牛人就不會忘記自己設計的演算法。

所以，當看到別人牛逼的閃閃發光的演算法後，我們一定要探尋演算法背後那“曲徑通幽”的思維之路。只有經歷了思維之路的磨難，才配得上永遠佔有一個演算法，並有可能舉一反三，或者是設計一個巧妙演算法。劉未鵬在知其所以然（三）：為什麼演算法這麼難？中探索了Huffman編碼的思維歷程，值得一看。順便說一下，探索演算法背後的思維歷程不是件容易的事，要知道就是霍夫曼本人也是花了一個學期才想出它的編碼演算法。

下面我們以LeetCode上一個好問題，來探索這個問題的演算法背後的思維之路。關於什麼是好問題，劉未鵬在跟波利亞學解題上有一個不錯的觀點：好問題即測試一個人思維的習慣的題目，通常考察你的聯想能力、類比能力、抽象能力、演繹能力、歸納能力、觀察能力、發散能力等。

一個好問題

LeetCode 84題：Largest Rectangle in Histogram，給定一個直方圖（下圖a），求直方圖中能夠組成的所有矩形中，面積最大為多少。對於圖a來說，我們很容易看出來面積最大的矩形為高度為5和6的直方圖組成的矩形（圖b隱形部分），其面積為5 * 2 = 10。

其實這個題稍微加以變化，就是另一個相當有趣的問題：Maximal Rectangle.

這道題目一個顯而易見的解決方法就是暴力搜尋：找出所有可能的矩形，然後求出面積最大的那個。要找出所有可能的矩形，只需要從左到右掃描每個立柱，然後以這個立柱為矩形的左邊界（假設為第i個），再向右掃面，分別以（i+1, i+2, n）為右邊界確定矩形的形狀。

這符合我們本能的思考過程：要找出最大的一個，就先列出所有的可能，比較大小後求出最大的那個。然而不幸的是，本能的思考過程通常是簡單粗暴而又低效的，就這個題目來說，時間複雜度為N^2 。那麼有沒有一種更加高效的解決辦法呢？

一個好演算法

我第一次面對這個題時，並沒有想出一個漂亮的解決方案。因為從給定的條件來看，似乎找不到一個約束條件使得滿足這個條件的矩形面積最大，也就是說無法縮減問題的規模，因此必須找出所有可能的矩形，這樣的話效率肯定是N^2 。

然而去Google了一下，立即發現了一個時間複雜度O(n)的演算法，當時就被這神奇的解法所震撼到。它的程式碼十分簡單，簡單到一開始我根本就看不懂，不明白為什麼這樣子求出的就是最大的矩形。網上好多所謂的解題報告裡面只是人云亦云地給出了演算法的步驟，沒有演算法正確性的證明，更沒有我們最想要的關於解題思路。

我也先給出演算法步驟和程式碼，看看你是不是同樣一頭霧水。在程式中維護一個棧，棧中元素為直方圖中bar的下標，然後從頭開始掃描每個bar：

1. 如果當前bar的高度大於棧頂bar的高度，則將當前bar的下標入棧；
2. 否則執行出棧操作，記錄彈出下標對應的bar的高度，並計算出一個面積，然後用這個面積更新最大面積。

程式碼也是相當簡潔，python原始碼如下：

高效而難以理解，這就是那些神奇演算法的共性。

一個思維歷程

那麼這個演算法真的就是我等凡夫俗子不能想出來的？難道我們只能仰望高山，恨自己智商不高？我還真不服氣呢，於是又靜下心去思考這個問題。

這次我們不從已知條件推結果，而直接從結論入手，就是說假設現在已經找到了面積最大的那個矩形。接著我們來分析該矩形有什麼特徵，然後可以用下面兩種方法之一來縮減問題的規模（因為這兩種方法都不用找出所有的矩形一一比較）。

1. 找出滿足這些特徵的矩形，面積最大的矩形肯定是其中之一；
2. 排除那些不滿足這些特徵的矩形，面積最大的矩形在剩下的那些矩形裡面。

為了使考慮情況儘可能全面，畫了許多直方圖，防止使用原題目圖片可能存在的一些特定假設，其中一個直方圖如下圖：

通過不斷地對多個直方圖的觀察，發現面積最大的那個矩形好像都包含至少一個完整的bar，那麼這條規律適用於所有的直方圖嗎？我們用反證法來證明，假設某個最大矩形中每個豎直塊都是所在的bar的一小段，那麼這個矩形高度增加1後仍然是一個合法的矩形，但新的矩形面積更大，與假設矛盾，所以面積最大的矩形必須至少有一個豎直塊是整個bar。

至此我們找到了面積最大矩形的一個特性：各組成豎直塊中至少有一個是完整的Bar。有了這條特性，我們再找面積最大的矩形時，就有了一個比較小的範圍。具體來說就是針對每個bar，我們找出包含這個bar的面積最大的矩形，然後只需要比較這N個矩形即可（N為bar的個數）。

那麼問題又來了，如何找出“包含某個bar的面積最大的矩形呢”？對於上面的直方圖，包含下標為4的bar的最大矩形如下圖橘黃色部分：

簡單觀察一下，就會發現要找到包含某個bar的最大矩形其實很簡答，只需要找到高度小於該bar的左、右邊界即可，上圖中分別是下標為1的bar和下標為10的bar。

至此問題已經變為“對於給定的bar，如何確定高度比它小的左、右邊界”。其實求左邊界和右邊界是同樣的求法，下面我們考慮求每個bar的左邊界。最直接的思路是對於每個bar，掃面其前面所有的bar，找出最後一個高度小於它的bar，這樣的話時間複雜度明顯又是N^2 ，Holy Shit。

到這裡似乎沒有路可走了，但如果我們繼續絞盡腦汁地去想，可能（或許你對棧理解的很深入，或許是你在一個類似的問題中用到了棧，當然你也可能想到動態規劃的思想，那也是可行的）會聯想到棧這一資料結構。用棧維護一個高度遞增的bar的集合，也就是說棧底到棧頂部對應的bar的高度越來越大。那麼對應一個剛讀入的bar，我們只需要比較它的高度和棧頂對應bar的高度，如果當前bar比較高，則彈出棧頂元素繼續比較，直到棧頂bar比它低或者棧為空。之後，將當前bar入棧，更新棧內的遞增序列。

我們從左到右掃一遍得到每個bar對應的左邊界，然後從右到左掃一遍得到bar的右邊界。兩次掃描過程中，每個bar都只有出棧、入棧操作，所以時間複雜度為O(N)。通過這樣的預處理，即可以O(N)的時間複雜度得到每個bar的左右邊界。之後對於每個bar求出包含它的最大面積，也即是由左右邊界和bar的高度圍起來的矩形的面積。再做N次比較，即可得出最終的結果。

這裡先預處理用兩個棧掃描兩次得到左、右邊界，再計算面積，是按照推導過程一步一步來的。當我們寫完程式後，再綜合看這個問題，可能會發現其實沒必要這樣分開來做，我們可以在掃描的同時，維護一個遞增的棧，同時在“合適的”時候計算面積，然後更新最大面積。具體實現方法就是前面給出的那個神奇的演算法，不過現在看來一點也不神奇了，我們已經探索到了它背後的思維歷程。

當然，條條道路通羅馬，上面思維過程只是其中一條通往解決方案的路徑，你可能以另一種思維過程找到了答案。不過，我們上面的整個推導過程沒有涉及一些類似“神諭”的啟發，只是一些簡單的方法：比如從結論推導、反證法、歸納總結、聯想（可能聯想到棧有點難）等，因此每個人都可以學會，並且很容易被大腦記住。值得注意的是，我們的整個思考過程並不簡簡單單地跟上面寫的那樣是線性的，它更可能是樹形的，只是我們剪去了那些後來證明行不通的枝。

解題的萬能思考法則?

人類在漫長的進化史中，解決了各種各樣的問題。例如

• 如何度過一條湍急的河流
• 如何保留火種
• 如何治癒天花
• 如何製造一個會飛的機器
• …

同時也對自己的思維方式進行總結和反思，笛卡爾曾經試圖將人類思維的規則總結為36條（最終完成了21條）。

那麼有沒有一個解題的萬能思考法則，按照這個法則去思考，最終能解決所有的問題或者是證明某個問題不可解？目前看來是沒有這樣的思考法則的，不然我們就可以製造出真正的會思考的機器了。

不過還是有許多思維方法值得我們去學習強化，波利亞在《How To Solve It》上總結了這些方法，如果想培養良好的思維習慣，那麼這本書是必不可少的。

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