經典不老，萬古長青，欣賞e和e的非0有理數次方的無理性證明。

赤雷德發表於2020-03-05

我們要談的便是e，自然常數。它的第一個發現是約翰·納皮爾(John Napier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但他可能還不知道這是一個常數。第一個指出她是常數的是雅各布 伯努利。

但若論出名，尤拉是和e相關最大的人。用e表示自然對數底就是他。還有他的尤拉公式enter image description here

物理中的尤拉公式，enter image description here f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦係數，α表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。

都可以看到e的身影，更有尤拉恆等式

尤拉恆等式

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還巧妙地將e，π，1和0放在了一起，費曼都說這是最美妙的公式。

而尤拉還解決了enter image description here

e的極限形式 ，這是e的第一種表示方法，e還有另一種級數表示 enter image description here

眾所周知，e的大約值是2.71828……，這是一個無限小數，自然有問題，它是一個無理數還是有理數？

1761年Lambert證明了e的無理性連同π的無理性。

數論中還有一個類似於有理數的概念：代數數。它的範圍比有理數的範圍大得多，而代數數是指都能被一元整係數整式方程解出來的數。反之就被稱為超越數。比如√2就是代數數，它是x²=2的一個解。而e是超越數，這是埃爾米特(Hermit)1873年首次證明。但他未能證明π是超越數，林德曼在1882年才證明了π是超越數。要證明e是超越數要許多分析和數論的知識，我們這裡就e和e的非0有理數次方的無理性展開討論。 enter image description here一元整係數整式方程

e的無理性證明是很簡單的。那讓我們開始旅行吧。參見《哈代數論》44-45頁。 enter image description here

我們要證明這個定理1.

首先，單單看這個定理的文字表達我們是無法證明的。第一步是將它轉為數學語言，這時扣準定義就十分重要了。什麼是無理數？對於實數可以分為有理數和無理數，若要知道無理數可以從有理數開始。其中我們選擇這一條，它以其操作性強著稱。 enter image description here 有理數的定義其一

關於這個定義最著名的是關於√2是無理數的證明。簡單來說就是：“如果一個數是有理數那它一定可以寫成分數。”比如2.3333.......,可以寫成7/3或14/6,2可以寫成2/1或4/2.....，而這個分式一定可以化為最簡式，也就是a，b互質，或者寫成一個整數。√2是無理數的證明就和這有關。 enter image description here √2是無理數的證明

√2是無理數的證明用到了反證法，又叫“歸謬法”。這是一個最著名的也很受爭議的證明方法。著名的定理，費馬大定理就是用反證法證明的。反證法在高中開始學，在數學家中頗受歡迎。數學界的亞歷山大希爾布特就曾說，禁止數學家使用反證法就象禁止拳擊家使用拳頭。很早牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。可見反證法的重要性。我們先了解一下反證法，它絕對不會違反你的理性（除非你是龐加萊，外爾那樣的人），恰恰相反它很符合你的直覺和理性。

反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律（law of excluded middle）是形式邏輯的基本規律之一，排中律指同一個思維過程中，兩個相互矛盾的思想不能同假，必有一真，即“要麼A要麼非A”。也就是說對於兩個互相矛盾的命題，你不能同時否定它們兩個。比如說，某人說：“我早上沒吃大餅。”，這時他的妹妹笑他：“就是你吃的！”，如果你這時候說：“哈哈！你們都錯了。”嘿嘿，是不是很奇怪。某人既吃了又沒吃。這就違反了排中律。邏輯學是不是還是很好玩的？矛盾律則很簡單，就是自相矛盾，即“A必非A”。也就是一個命題（一個歐）不能既是對的又是錯的。比如那個某人（哎，可憐的某人）又說：“我只是吃了一點。”（妹妹：“才怪！”），顯然他自相矛盾了（在他否定上一句話之前。）。

當然，最重要的是它的技術操作。就像之前的√2是無理數的證明那樣。分以下幾步。

第一步：假設與命題錯誤。

第二步：通過正確的推理得出一個與①條件或證明推論（比如上面的a，b互質）②公理或定理矛盾的結論。

結論錯誤終結了假設，我們的邏輯自相矛盾，回溯而看，推理正確，只能說明假設錯誤。由於“矛盾律”和“排中律”，原命題正確。

好！（終於進入主題啦！）說了這麼多，已準備就緒，接下來出發吧。

我們就像證明√2是無理數那樣。我們假設e也是有理數，並且我們可以預見e的級數表示我們能得到更好的性質。的確我們用的是e的級數。讓我們來欣賞一下證明過程吧。很簡單。 enter image description here

e是無理數的證明 是不是很簡單？別走！我們的路還沒走完呢!要不要來首歌？（給自己打個廣告：）☺）

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好，既然我們現在知道了e是無理數，就像√2的平方是2是有理數，那e是不是√2這樣的數？並且e的平方，三次方，3/2次方.......是不是無理數呢？看定理2. enter image description here我們接下來就看看欣賞一下e的非0有理數次方的無理性證明！同樣用了反證法。它的基本思想來自埃爾米特(Hermit)（沒錯，就是他）。同樣很簡單歐！只要簡單的分析方面的知識。：) enter image description here

e的非0有理數次方的無理性證明。 這樣我們的旅行就結束了。酣暢淋漓啊！（我寫時是這樣的，你們呢？）來，讓我們看看，對定理2我們怎麼走過來的。 enter image description here 定理2旅行地圖 呼~，我們這段旅程怎麼樣。對e有些瞭解了吧。願你愉快。我們下次再見！ 作者：小知的未來 https://www.bilibili.com/read/cv4957883 出處： bilibili

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