Bloom Filter是一種空間效率很高的隨機資料結構，它利用位陣列很簡潔地表示一個集合，並能判斷一個元素是否屬於這個集合。Bloom Filter的這種高效是有一定代價的：在判斷一個元素是否屬於某個集合時，有可能會把不屬於這個集合的元素誤認為屬於這個集合（false positive）。因此，Bloom Filter不適合那些“零錯誤”的應用場合。而在能容忍低錯誤率的應用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了儲存空間的極大節省。
集合表示和元素查詢
下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位陣列表示集合的。初始狀態時，Bloom Filter是一個包含m位的位陣列，每一位都置為0。
為了表達S={x1, x2,…,xn}這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個相互獨立的雜湊函式（Hash Function），它們分別將集合中的每個元素對映到{1,…,m}的範圍中。對任意一個元素x，第i個雜湊函式對映的位置hi(x)就會被置為1（1≤i≤k）。注意，如果一個位置多次被置為1，那麼只有第一次會起作用，後面幾次將沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個雜湊函式選中同一個位置（從左邊數第五位）。
在判斷y是否屬於這個集合時，我們對y應用k次雜湊函式，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那麼我們就認為y是集合中的元素，否則就認為y不是集合中的元素。下圖中y1就不是集合中的元素。y2或者屬於這個集合，或者剛好是一個false positive。
錯誤率估計
前面我們已經提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬於它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計錯誤率的大小。在估計之前為了簡化模型，我們假設kn<m且各個雜湊函式是完全隨機的。當集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k個雜湊函式對映到m位的位陣列中時，這個位陣列中某一位還是0的概率是：
其中1/m表示任意一個雜湊函式選中這一位的概率（前提是雜湊函式是完全隨機的），(1-1/m)表示雜湊一次沒有選中這一位的概率。要把S完全對映到位陣列中，需要做kn次雜湊。某一位還是0意味著kn次雜湊都沒有選中它，因此這個概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是為了簡化運算，這裡用到了計算e時常用的近似：
令ρ為位陣列中0的比例，則ρ的數學期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）為：
(1-ρ)為位陣列中1的比例，(1-ρ)k就表示k次雜湊都剛好選中1的區域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經提到了，現在來看第一步近似。p’只是ρ的數學期望，在實際中ρ的值有可能偏離它的數學期望值。M. Mitzenmacher已經證明[2] ，位陣列中0的比例非常集中地分佈在它的數學期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分別將p和p’代入上式中，得：
相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更為方便。
最優的雜湊函式個數
既然Bloom Filter要靠多個雜湊函式將集合對映到位陣列中，那麼應該選擇幾個雜湊函式才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這裡有兩個互斥的理由：如果雜湊函式的個數多，那麼在對一個不屬於集合的元素進行查詢時得到0的概率就大；但另一方面，如果雜湊函式的個數少，那麼位陣列中的0就多。為了得到最優的雜湊函式個數，我們需要根據上一小節中的錯誤率公式進行計算。
先用p和f進行計算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我們令g = k ln(1 − e−kn/m)，只要讓g取到最小，f自然也取到最小。由於p = e-kn/m，我們可以將g寫成
根據對稱性法則可以很容易看出當p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等於(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位陣列中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2對應著位陣列中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位陣列有一半還空著。
需要強調的一點是，p = 1/2時錯誤率最小這個結果並不依賴於近似值p和f。同樣對於f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我們可以將g’寫成
同樣根據對稱性法則可以得到當p’ = 1/2時，g’取得最小值。
位陣列的大小
下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率為є，下面我們來求位陣列的位數m。
假設X為全集中任取n個元素的集合，F(X)是表示X的位陣列。那麼對於集合X中任意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結果，即s能夠接受x。顯然，由於Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠є (u – n)個false positive。因此，對於一個確定的位陣列來說，它能夠接受總共n + є (u – n)個元素。在n + є (u – n)個元素中，s真正表示的只有其中n個，所以一個確定的位陣列可以表示
個集合。m位的位陣列共有2m個不同的組合，進而可以推出，m位的位陣列可以表示
個集合。全集中n個元素的集合總共有
個，因此要讓m位的位陣列能夠表示所有n個元素的集合，必須有
即：
上式中的近似前提是n和єu相比很小，這也是實際情況中常常發生的。根據上式，我們得出結論：在錯誤率不大於є的情況下，m至少要等於n log2(1/є)才能表示任意n個元素的集合。
上一小節中我們曾算出當k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。現在令f≤є，可以推出
這個結果比前面我們算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。這說明在雜湊函式的個數取到最優時，要讓錯誤率不超過є，m至少需要取到最小值的1.44倍。
總結
在電腦科學中，我們常常會碰到時間換空間或者空間換時間的情況，即為了達到某一個方面的最優而犧牲另一個方面。Bloom Filter在時間空間這兩個因素之外又引入了另一個因素：錯誤率。在使用Bloom Filter判斷一個元素是否屬於某個集合時，會有一定的錯誤率。也就是說，有可能把不屬於這個集合的元素誤認為屬於這個集合（False Positive），但不會把屬於這個集合的元素誤認為不屬於這個集合（False Negative）。在增加了錯誤率這個因素之後，Bloom Filter通過允許少量的錯誤來節省大量的儲存空間。
自從Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之後，Bloom Filter就被廣泛用於拼寫檢查和資料庫系統中。近一二十年，伴隨著網路的普及和發展，Bloom Filter在網路領域獲得了新生，各種Bloom Filter變種和新的應用不斷出現。可以預見，隨著網路應用的不斷深入，新的變種和應用將會繼續出現，Bloom Filter必將獲得更大的發展。
參考資料
[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.
[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.
[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf
[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt